[s2 | 2024] Математический анализ, К. П. Кохась, лекция 4

ruticker 04.03.2025 15:25:19

Текст распознан YouScriptor с канала CT Lectures

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке [s2 | 2024] Математический анализ, К. П. Кохась, лекция 4

В прошлый раз мы что-то такое полезное прошли, а это называется **правило Лопиталя**. Мы прошли такой волшебный рецепт: если у вас есть какой-то предел, и вы не можете его посчитать, что-то вот как смотрите сейчас, но не можем никак его посчитать, но с волшебным способом по названию "правило" оно говорит: "Ну ладно, не можете этот считать, считайте другой". **Дифференцируйте числитель, дифференцируйте знаменатель и попробуйте посчитать вот этот предел.** Если у вас получится, то вы вот здесь можете поставить "равно". Ну ладно, получилось, попробуем ещё раз. Значит, у вас есть... Я, кстати, забыл детальку сообщить, да, поле. Ладно, разберёмся. Так, ну предел пытаемся посчитать. Да, на всякий случай, чтобы не было как в прошлый раз, давайте сначала его посчитаем, чтобы, так сказать, не ошибиться в правиле Лопиталя, а потом уже почитаем по правилу Лопиталя. Но видно, что предел нулевой, очевидно. Ну вот тут квадрат стоит, а здесь только синус. Сверху выражение второго порядка, снизу первого — это **валент к x**, а это у **большого от x к**. Ну, поэтому предел равен нулю. Ну хорошо, но мы не про это. Мы считаем по правилу Лопиталя. Значит, мы не дробь дифференцируем, дифференцируем знаменатель по отдельности, а здесь получается значит \(2x\), вычитаем производную этой штуки — косинус. ОТК сократится тоже не у косинуса. Нет предела у этого-то ноль, а вот у этого нет предела. А у этого единица, предел не существует. Так что-то не хватает, что же делать-то? Давайте сейчас посчитаем предел ещё какой. Ну, работать в конце концов. Вот попробуем такое сделать. Значит, как ференци насо, дифференцируем знаменатель плюс ноль, потому что логарифм — это самое... Вот, но успех... Стойте, стойте, это само. Я же уже давно видите списал по ВС. Знаете, почему? Поги ляли. Вот здесь оно вообще-то при \(x\) близких к нулю отрицательное, поэтому идея, что предел равен плюс бесконечности, она должна вызывать у разумного человека некоторые сомнения. Поэтому, видимо, правильно сделать вот так. То есть это тоже не сработало. Да, короче, правило Лопиталя — это вещь, которая... Ну, те сказать, нужно было Лопиталю, чтобы пользоваться этим правилом, нужно быть питам, чтобы пользоваться этим правилом. Тогда, может быть, так сказать, у вас получится. Ну, в крайнем случае, намёт берну, и он вам всё посчитает. Ага, а так... Ну что, в последнем случае неправильно, на всякий случай, а то как-то не купить. Что, где ошибка? Всё перед вами должно быть ноли. Ноль должна быть неопределённость. Вот здесь нет неопределённости, вот здесь была, здесь была, но я это не проверил, надо было проверить. Ну, я не проверил, но она была. И поэтому, как бы формально, тут какая-то другая причина сработала. Здесь я получил какую-то рекурсию, то есть я пришёл к выражению, от которого стартовал. Здесь просто не сработало другое условие правила Лопиталя. Оно говорит про дифференцирование, тут как положено, и если есть предел, то у нас не состоялось. Вот это есть, у нас нет предела после дифференцирования. Так что здесь оно не сработало просто, вот потому что не вписалось в теорему по причине второй части. Нету предела после того, как вы провели дифференцирование. А здесь не было неопределённости, значит, вот это вот правильно. Ну вот, хорошо, ладно, давайте я, может быть, всё-таки посчитаю что-нибудь полезное. Ну или может сначала вредное. Ну давайте такое сначала в степи \(1K\) сейчас ять и не... Сейчас, одну секундочку. Нет, не её, наверное, минус я показатель. Ну то есть я то, что я написал, там не было дроби, я бы в качестве первого шага, конечно, соорудил бы дробь, но здесь я не хочу, здесь я сразу взял дробь. Вот предел к нулю, экспонента в экспоненте, показатель стремится к минус бесконечности. То есть экспонента идёт к... Ну, знаменатель тоже идёт к... Ну, то есть на этот раз всё нормально. Ну и я могу применить правило Лопиталя. Я поставил авансом, я ещё не дочитал. Ну и дифференцируем. Так, это значит \(e^{1/x}\) к \(2\), а здесь единица. Ну ладно, да, получилось. Е хуже, чем в первый раз, там стало даже не знаю, то ли вам оставить досчитать, то ли всё-таки самому. Ну, я хочу из этого сделать всё-таки как теорему, поэтому давайте я досчитаю. Вы знаете, не так его надо было считать, то есть это тупиковая ветка, она ухудшает результат, она не ведёт туда, куда надо. Правильнее было считать. Так, давайте сначала запишем это вот так: \(x\) делить на \(e^{1/x}\). Каждый имеет право вот так переписать это выражение. Ну давайте договоримся, что мы считаем предел, чтобы тут про знаки не думать при \(x\) стремящемся к положительному, ну к нулю справа. Ну тогда по-прежнему неопределённость, только теперь плюс бесконечно, плюс бесконечно, и теперь всё в порядке. Да, теперь после дифференцирования у вас получится, получится у вас что? У вас получится \(-2x\) делить на \(e^{1/x}\). Да, ну надо подставить, только она будет не снизу, а сверху продифференцировать эту штуку. Ну получится вот так. То есть произошла та же самая история. Вот здесь была степень, она увеличилась на два, и это как бы в данном случае катастрофа. А здесь была степень, она тоже увеличилась на два, но это в данном случае успех. Да, потому что пропала неопределённость, потому что теперь \(x\) идёт к нулю, а знаменатель... Так что такое? Да, знаменатель идёт к бесконечности. Ну, \(0\) делить на бесконечность. Ну вот, хорошо, ладно, зафиксируем этот успех. И давайте я по этому поводу, чтобы так сказать, не пропадали мои вот эти страдания, значит, зафиксирую такой результат. Пример неаналитической функции. Неаналитической. Ну это в принципе кусочек заголовка, вы как бы не обязаны, вы можете думать, что это художественный текст, а называется "Почему называется сле залов придавать". Но всё-таки давайте передадим. Значит, этот сюжет мы чуть-чуть приоткрыли в конце того семестра, когда мы говорили, что если у вас есть какая-нибудь достаточно понятная функция, допустим, я не знаю, ну экспоненты, скажем, вы её можете раскладывать по формуле Тейлора. Ну давайте разложим нулевую \(e\), написать остаток. Давайте, говорю, что надо считать производную. Производная очереди \(p\) — все производные экспоненты, все производные экспоненты. Значит, считаем средние точки, это значит будет \(e^{k}\). Какая \(f\) от \(1\)? Значит, я здесь считаю так, что я фиксировал какой угодно, намер, думать, что \(2025\) лежит между \(n\) и \(i\). Поиро бегс на это выражение \(z\). Если смотрю на это выражение как от \(N\), то с ростом \(N\) здесь всё больше и больше слагаемых. Но это означает, что в результате предельного перехода вот предел по выражению, которое тут написано, это просто по определению суммы ряда. И я тем самым экспоненту, который тут в левой части, от никак не зависит, вот вам представил в виде суммы ряда степенного ряда. Так вот, значит, что такое аналитическая функция? Аналитическая функция — это такая функция, у которой формула Тейлора, вот если вы её запишете в таком модифицированном виде, как ряд, задаёт вашу функцию в окрестности, ну той точки, где вы раскладывали по Тейлору, в окрестности нуля должно действовать такое разложение. У этого разложения, как я вам и сказал, можно взять \(x = 2025\) вообще при всех \(ST\). Ну это такой специальный ряд, зачет факториалов, он такой факториал слишком простой у других функций. Ну типа вот там помните, какие ещё бывают? Лори + \(x\), у него там знаменатели не факториал, а просто \(e\) разложение действует, пока и там не больше \(e\). Вот хорошо, значит, ещё раз это был пример аналитической функции. Это то, что меня не интересует в этом вопросе. Значит, я тем самым аналитическая функция — это функция такая, что если вы пишете формулу Тейлора, забыли про остаток, но вместо него написали плюс и так далее, считая, что появился ряд, вот у вас в результате получилось верное. Функция равна сумме ряда. Хорошо. А значит, наш случай не такой. Значит, наш случай — это когда функция не представима в виде суммы ряда. Мы, конечно, так сказать, ряды ещё не изучали, но пример, который я вам показываю, он настолько, так сказать, не знаю, вы пьющий, что здесь не нужно знать никаких теорий. Итого я вам просто привожу некую функцию в качестве примера: \(f(x) = 3x\) больше. Ну пусть будет такая экспонента, а при отрицательных... Вот такая. Ну и в следствии, то есть так на уровне графика функции я не представляю, как есть, я могу себе представить, нарисовать аккуратно. Дело не в этом, но понятно, вяли, начинаю считать экспоненту, чем круп тут минус миллион будет, а при больших всё приближается к нулю. То есть отрицательные числа, но уже такие маленькие по модулю. Ну то есть экспонента будет расти по мере того, как \(x\) отходит от нуля. Ну и значит, функция, я не знаю, как именно это выглядит на графике. Ну, как-то она там возрастает, а при \(x < 0\). Ну я так сказать подкрашивание. Вот график такой. То есть график этой функции, ещё раз, то что я тут его так рисую, немножко волнистой линии, это просто я его уже пожирнее выглядел. Вот он какой-то такой. Вот она непрерывная в нуле, это очевидно. Предел справа нулевой, это видно по формуле. Вот так вот. Я хочу сказать пример неаналитической функции, а именно если вы берёте точку \(x_0\) равную нулю и пытаетесь проделать такой же фокус, как я только что сделал с экспонентой, у вас ничего не получится. Ну так нехорошо. Может быть, я пример привожу, значит, оже быть не негатив, что показать, сказать: "Вот смотрите, может при в музее вам говорят экспоната, так было бы здорово". Вы покажите, что есть утверждение: для любого \(k\) существует такая производная функции \(f\) в нуле, и она равна нулю. Тут вопрос существования тривиально, я склеил функцию из кусочков, поэтому как бы на стыке она вообще может и не существовать, поэтому я вот так говорю. Ну а вообще-то она равна нулю, это ещё дополнительно я привожу такое сведение. Вот, ну хорошо, значит, что мы знаем про \(F'\) и вообще всякую какую производную? Ну давайте посмотрим на первую. Значит, \(F'\). Ну совершенно понятно, что при \(x > 0\) есть формула, что берёте, дифференцируете, значит, если... Ну я почти то же самое делал, здесь с квадратом было, но очень похожей функции. Да, значит, я дифференцирую функцию \(1/x^{k}\) в степени \(-1\). \(x\) значит при \(x = 0\) совершенно надёжная формула. Во втором случае, если \(x < 0\), ну то тоже дифференцирование совершенно надёжно. А вот если равен... Ну то такой я бы двойной вопрос поставил. Вопрос: существует ли эта штуковина? Если существует, чему равна? Я вроде вам утверждаю, что она равна при всех, любая производная, но пока разбираюсь с пер. Ну так спрашивается, как считать эту производную в окрестности? Нам повело, говорит, что если существует предел, то это значит, что сторонняя производная в точке следствия, если кто-то не помнит, доказывается больше \(x_0\), посчитали производную и посчитали этот предел и нашли, что он существует, то на самом деле в точке \(x_0\) тоже есть дифференцируемость. И право, ну раз тут правый предел, то правосторонняя производная, правосторонняя производная равна \(L\). Ну а если ещё и слева такая же штука, то и левосторонняя будет равна \(L\), тогда функция будет дифференцирована. Значит, чтобы в этой ситуации сработать, я должен посчитать предел \(F'(x)\). Ну вот при \(x\) стремящемся к нулю слева, справа. Слева, то очевидно, когда вы слева подходите, у вас тут тождественный ноль, тут понятное дело ноль. Справа я тут писал, я когда \(0 - 0\), я как-то экономил всегда и первый ноль не писал. Ну вот я тут забыл про эту экономию, а здесь вспомнил. Дело в \(F'(x)\). Это что такое? Это значит предел того, чем мы тут насчитали первой строчке. Ну и поскольку я тут, видите, уже так сказать трижды у меня не получилось, я уже просто пишу правило Лопиталя. Это ужасно, но я думаю, что вот аналогично вот этому вычислению вы сможете сами посчитать без меня. Пожалуйста, досчитайте этот предел, у вас получится ноль. Значит, вот это вот упражнение формально, оно, наверное, просто почти написано справа-слева, но... А, ну мало ли, вдруг там что не так. Так вот, значит, всё из этих двух вычислений следует, что функция \(F'\) дифференцируема в нуле, только в этом проблема. Вне нуля она очевидно дифференцируема. Ну и я могу тогда теперь уже как бы подправить, что вот сюда в случае \(r\) тоже подписывается \(n\) по непрерывности к этому и к этому имеет отношение, как вы и значит, всё. Функция имеет первую производную. Хорошо, что происходит? ЕС. Я хочу, это я его сне, нужно будет явно, может, даже ню от буду иметь какие-то затруднения записать его в явном виде на уровне, так сказать, программки вычисляющей. Да, это легко. Ну, если Вано вычисление несложных производных. Так что давайте подумаем. Так вот, если бы нам это приписать, чтобы у нас примерно получилось после дифференцирования, ну, получилось бы какое-то выражение. На самом деле вот такого вида некий многочлен за \(x\) и \(p\), у него какая-нибудь \(2\) чтом, какая \(од\) и \(и\) умножить на \(e^{-1}\). И это при \(x = 0\) — это я отделил от верхней записи, правда ведь? Ну как вот вы будете дифференцировать вот это выражение? Производная первого слагаемого \(2\) делить на экспоненту плюс перво \(S\) \(e^{x}\) производную того, что в экспоненте, то есть ещё один единый \(k\). Я формулу написано, экспоненту вынесли за скобочку, тут много. То есть вот какое-то такое выражение после первого, после второго дифференцирования. Ну и дальше то же самое. Вот, ну и когда мы это так сказать осознали, дальше у нас возникает та же самая проблема. Мы так сказать можем рассуждать по индукции, можем сказать: "Ну вот, благодаря что первый шамы сделали, давайте будем делать переход по индукционному переходу". Т предыдущая функция у дифференцируемости установили, есть те, устанавливаем дифференцируемость производной. То есть это вопрос дифференцирования, ми производные \(ВС\) равно управляются этими формами. Значит, нам надо посчитать предел слева и сни, а нам нужно позаботиться о пределе, когда \(x\) стремится к нулю справа выражение \(K\) от \(o\) на \(e^{-1}\). Ну и это тоже ноль. Почему это ноль? Давайте на секундочку \(e\) вернём. Пусть он так сказать как-то, не хочется тратить, а я вот на этой точке попытаюсь уложить. Он вот как, значит, это предел. Ну давайте себе представим, как многочлен выглядит от... Ну какие-то коэффициенты на степень \(o\) и да, сумма там по от нуля до какой-то там степени, неважно, она зависит от... Я тут аккуратно не вычислил. Да, вот при равном \(e\) тут вторая степень, при равном производной вылезла четвёртая, наверное, она и будет \(2K\), скорее всего, потому что самая большая степень будет, когда вы при следующем дифференцировании. Вот это \(x\) уже заработали в знаменателе, а здесь выскочит из производной ещё \(1/x\) в знаменателе, это будет прирост степени на два. Ну не суть. Вот мне кажется, \(N\) — это \(2k\), не буду на это обращать внимание. Значит, какой-то коэффициенты на \(M\) на \(x^{M}\) и на \(e^{-1}\). Итак, ну здесь конечное число слагаемых, соответственно, я могу считать \(e\) по отдельности предел каждого слагаемого. Значит, получается сумма пределов, сумма конечности переставлять. А тут ни при чём, его можно вынести, а предел я могу записать. Записать я могу вот так. Ну во-первых, я это могу считать по правилу Лопиталя, как будто я ничего до сих пор не делал, а могу поступить таким способом. Вот сделать такой учение \(e^{1/x}\) \(M\) делить на \(x\) поместилась как раз. Это я воспользовался идеей, что функция \(x^{M}\) непрерывна. Поэтому если у вас что-то было возведено здесь в степень, а вот это у нас вот здесь так не очень бросается в глаза, но вот здесь написана дробь, которая является \(M\) той степени вот такой дроби. Да, как бы здесь справа. Поэтому если мы знаем, к чему стремится дробь, то к чему стремится \(T\) степень, мы тоже узнаем. А к чему стремится дробь, я сейчас выясню и скажу, к чему она стремится. К нулю. А стремится она к нулю, потому что опять это предел. Вот предыдущий предел, который я считал, вот был такой. Ну не совсем буквально, видите, тут квадрат, а здесь, видимо, попроще \(x\). А ещё похожий предел, который я считал, был ещё вот такой. Ну то есть, короче, тут... А, ну вот я его и считал, кстати. Ну только с квадратом, а у меня с \(x\). Ну короче, значит, в результате я опять нашёл предел, который я не считал, третий по счёту такого же типа, как два предыдущих, но всё-таки чуть-чуть отличающее. Буквка \(m\) здесь никакого влияния на вычисление не идёт, она живёт в экспоненте. Она при дифференцировании по правилу Лопиталя будет выбрасывать на букву множитель \(m\), но это как бы не имеет отношения к пределу при стремящемся к нулю. Ну вот тут вот где-то двойка выскочила, и о, не мешало. Ну выскочил и выскочил, там выскакивает, это неважно. Вот важно, что тут структура выражения, короче, вот этот предел нулевой и всё вместе имеет предел нулевой. Значит, этот факт означает, что когда вы считаете односторонние пределы вот этих двух выражений к... Ну вы получаете и там, и там, но это значит, что функция \(F\) в нуле определена и равна нулю. Ну это вот есть наше такое вот упражнение, увлекательно. Так, хо возв залов, и что я получил, и что я имею в виду? А получается такая вещь, что значит у этой функции, где тут ещё написано, вот все производные в нуле нулевые. Это значит, если вы пишете её формулу Тейлора, то вместо содержательного ряда, как для экспоненты, вы иска ряд чисто из нулей. Все слагаемые просто нулевые, потому что все коэффициенты нулевые. А если все коэффициенты нулевые, то получается, что функция задаётся таким тождественно нулевым рядом. Но она же не равна нулю, она в окрестности нуля, но налево этой половинке равна, а на правой не равна. Она не равна нулю, но при этом все производные имеют нулевые. Это вот такая вот замечательная вещь. То есть не то чтобы нам это зачем-то нужно, но это просто вот показывает, что вот так устроен мир, который мы изучали. Формула Тейлора в хорошем случае идеально приближает нашу функцию, чем больше слагаемых, тем лучше. В плохом случае она вообще никак не приближает нашу функцию. Справа всегда ноль, а функция всё. Никаким добавлением слагаемых вещи не исправить. Вот готово. Значит, это вот мы разобрали с таким замечательным... Так, хорошо, давайте теперь ещё взглянем на это, чтобы добро не пропадало. Раз я столько времени посвятил правила Лопиталя, давайте посмотрим ещё на одну модификацию. Ещё одна модификация — это дискретное правило Лопиталя, называется теорема Штольца. Значит, я хочу как бы применять правило Лопиталя для случая, когда у меня не функции, а последовательности. За при всех только натуральных. Если хотите, так значит, ну я сейчас напишу эту теорему. Значит, давайте сразу обговорим, если я хочу результат, содержащий принципиально, содержащий производную пересказывать для дискретной ситуации, то что же мне брать в качестве производной? Как аналог производной? Что такое? Берите превращение разностное отношение. Значит, разность значений делится на \(H\), и \(H\) устремляется к нулю. Это вот производная, скорость, так сказать, изменения вашей функции. Да, мен. Ну если у вас дискретная переменная \(X\), вот если вдруг в этой ситуации \(I\) разрешено принимать только натуральные значения, ну соответственно \(X + H\) тоже может принимать только натуральные, то есть \(H\) нужно брать целые. И тогда идея, что мы целые устремляем к нулю, ну как бы она хороша, если он был большой, но пусть идёт к нулю, но только значит непосредственно ноль, то мы сюда подставить не можем. Всё-таки эта формула не определённость будет содержать. А самый маленький \(H\), который можно подставить, это единица. Поэтому получается, что видимо аналогом выражения \(F(X)\) в ситуации дискретной будет это выражение. Ну давайте я буду считать, что вместо \(f(x)\) я теперь рассматриваю какую-то последовательность \(a_n\). Ну значит, это выражение типа \(\frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\). Ну делить на \(H\) и \(H\) устремляется к нулю. Это вот нужно считать, лучше этого производную. Не получим, хорошо, она устроена по структуре также, как правило Лопиталя. Я как-то ухитрился вам доказать всё, всё, всё сразу, всё вместе, а здесь по отдельности. Ну так на всякий случай. Значит, есть \(x_n, y_n\) — это вещественные последовательности. Значит, пусть известно, я разбираю основной случай. Пусть известно, что \(x_n\) стремится к... Ну прямо, но то есть бы идея в том, что я собираюсь думать на те, как бы это мне посчитать предел. И вот я вижу, пра проблема вме. Давайте будем считать, что эти последовательности монотонные. Кажется, достаточно, чтобы одна была монотонной. Давайте я напишу слово "монотонно", оставив место. А кто монотонный, мы допишем так сказать в процессе ревизии. Вот сейчас я буду доказывать, потом посмотрим, чьей монотонностью мы воспользовались, вот того и впишем сюда. То есть вот здесь оставлен продел. Ну хорошо, ладно, это как бы вот дополнительное словечко. А ещё пусть дополнительно мы знаем, что как там справи отношение производных имеет предел. Да, ну я уже сказал, производная — это тоже сказано. Значит, пусть предел \(\frac{x_{n+1} - x_n}{y_{n+1} - y_n}\) бесконечности. Ну вот пусть этот предел какой-то равен какому-то значению \(a\). Ну давайте скажем, какое у нас \(a\) бывает в принципе любое. Но единственное, что мне кажется, если \(a\) оказалось равным нулю, то мне надо опять чуть-чуть аккуратнее будет. Поэтому я хочу сказать, что \(a\) лежит с чертой вот здесь. Хоть \(a\) принадлежит \(R\) с чертой без... Ну и к нему добавить односторонний предел. То есть как бы... Ну вот это плохо, наверное, да? Ну давайте ноль с раз вилочкой добавим. Значит, я хочу сказать, что вот этот предел достигается как то, что вот предел равен \(a\), и при этом выражение пока нудо предельно положительно. То есть дроб стремится к \(a\) сверху, она стремится к \(a\) и при этом больше \(a\), либо она может стремиться к \(K\) и меньше \(a\). Значит, давайте, может быть, объединить ноль добавим, но добавим со спецком тария, которые тоже посмотрим. Бут как он сработает. Значит, это всё зависит от того, что я пишу сюда. Ну в целом вот можно считать, так что мы потребовали по максимуму. Допустим, если мы действуем монотонность обеих последовательностей, тогда пусть у нас предел любой вещественный. Видимо, всё сработает в этом случае. Значит, если здесь обе последовательности монотонные, то здесь не надо этих оговорок. Тут просто стой будет. Ну вот если это всё состоялось, тогда также как правило существует предел \(x_n, y_n\) стремящимся к бесконечности, и он равен тому же \(a\). Так, хорошо. Ну ладно, давайте разбираться. Значит, я хочу тут использовать. Вот я просто, значит, такую историю, чтобы просто сразу понятно было, что я буду делать. Доказательства, смотрите. Я вот... Ээ, все знают, как складывать дроби, знают, как... Это правда, а сложить... А, нет, извините, умножать дроби. Да, это значит, надо перемножить числители и перемножить имена. А я давно уже, наверное, в таком возрасте, уже как бы сказать сознательном, там типа не знаю, через 10 лет после окончания университета узнал, оказывается, как можно делить дроби. Смотрите, вы, может, тоже знаете, но я думаю, вы не умеете так делать. Знаете, как можно делить? Можно поделить числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Вот так, и это будет правда. Ну не знаю, меня учили переворачивать дробь, меня же устроено. Поэтому идея, что можно так, для меня было открытием. Ничего себе! Но если у вас такое открытие, то, конечно, вы после этого не можете не быть недовольными несовершенством мира. И, конечно, хочется, чтобы тогда и сложение дробей осуществлялось по формуле, ну вот которую я написал. Да, такой. Ну вот я так и буду делать, я буду пользоваться вот таким сложением. Оно кажется неверным, отч ладно, как-нибудь. Значит, я хочу сказать, что верно такое утверждение. Вот я буду пользоваться этим сложением. Значит, утверждение такое: если у вас есть... Ну сейчас давайте посмотрим неравенство \(p, q\) — это вещественные числа, \(m, R, S\), то тогда, если вы неправильно эти дроби сложите \(P + R\), \(p + S\), у вас будет... Вот так кажется, чтобы это работало, нужно, чтобы все знаменатели были положительными. Давайте очевидно. Ну тут вы смотрите на это, если знаменатели положительны, то у вас вот тут будет \(P\) и тут будет \(P\), сократится, а останется \(PS\) и \(IR\). Это ровно то, что в этом неравенстве. Вот так что вроде всё хорошо. Ну вот замечательно. Я тогда вот сейчас вот это вот возьму нагружение и, собственно, доказываю теорему Штольца. Значит, доказательство теоремы Штольца я начну с главного случая, когда \(a\) — это вещественное положительное число, да не плюс бесконечность и не минус бесконечность, по поводу которого у меня какие-то сомнения. Ну значит, тогда я пишу вот это вот главное, что мне с нетривиально дано в определении предела. Я вот для отведённого кружочка предела пишу определение. Любое \(\epsilon > 0\) существует номер \(N_1\), такое что для всех \(n > N_1\) выполняется, что эта дробь лежит в окрестности точки \(a\). Ну я это запишу в виде двух неравенств, потому что она лежит в окрестности точки \(a\). Значит, это как \(x_n - x_n^* < a + \epsilon\) и \(y_n - y_n^* > a - \epsilon\). Вот годится. Да, ну определение предела разглядели. Значит, то, что я собираюсь, ясно, что это никак не ограничивает меня. Так вот, я хочу вместе с этим неравенством написать ещё несколько штук. Давайте напишу следующее неравенство. Я беру в качестве индекса число \(n + 1\), это будет \(x_{n+1} - x_n\) и \(y_{n+1} - y_n\). Ну и та же самая. И вот я собираюсь таких неравенств написать много. Ну давайте вот напишу там много штук. Вот самый последний номер, который я буду использовать, это я буду использовать номер \(N\) маленькое, и вот здесь я записываю, видите, я дописал сюда, что я могу взять \(n\) маленькое более крупное, чем \(n\) большое и писать неравенства, которые вот идут до упора. Ну только мне удобнее, чтобы маленькая появилась не на второй позиции здесь вычитания, а на первой. Ну чтобы \(x_n - 1\) и \(y_n - 1\) у меня получилась такая цепочка. Не, ну а теперь я их все сложу в столбик. Ну складывать я буду их неправильным способом, вот этим. А этим способом их очень удобно складывать, когда выкладываете числители, тут вообще телескопическая сумма, всё сокращается. Поэтому в результате сложения у меня получится, ну я уже здесь всё равно неправильно складываю, поэтому скраю. Я тоже буду неправильно складывать, когда складывайте, скраю, надо его так оставить. Не надоть вот сложил. Ну ещё раз, тут написано куча дробей. Значит, давайте так мысленно себе представим, что тут вот какая-то одна из этих дробей, мы посмотрели и выбрали самую маленькую, да, а другую выбрали самую большую. И не надо это объяснять. Так, ну короче, не буду это объяснять, это элементарно. Короче, от того, что сложил, значит, дроби моим неправильным способом результирующая сумма заведомо лежит между наибольшей и наименьшей дробями. Ну значит, зажато между \(a - \epsilon\) и \(a + \epsilon\). Давайте ограничим таким комментарием, он чуть-чуть оказался недоказанным. Так, хорошо. Ну ладно, давайте значит подытожим. Я получил какое утверждение? Ну вот такое. Давайте, существует номер, только вы берите вот все такие, так сразу получается, что... Ну и давайте в этом выражении, смотрите, \(n\) может быть любым, он должен быть крупнее \(N\) большого. После этого оно любое, но крупное. То есть это неравенство верно при всех \(n\) начиная с некоторого места. Раз так, примем \(n\) маленьким, стремящимся к бесконечности. Если кто-то случайно видит какие-то нелогичности в моём решении, я сейчас ревизию устрою, потому что, например, слово "монотонно" до сих пор как-то не сыграла и уже не сыграет. Ну просто я это пропустил, чтобы не отвлекаться. А сейчас мы, так сказать, по второму разу посмотрим, где тут что-то я не договорил. Так вот, значит, я делаю предельный переход при \(n\) стремящемся к бесконечности в силу того, как \(n\) за это корректно. Но если она маленькая, стремится к бесконечности, мы же знаем, вот тут последовательность стремится к нулю, и, ну, минусы сокращаются. Значит, это к нулю, это два минуса пишем, мы получаем, что \(\frac{x_n}{y_n}\). Ну неравенство должно стать не строгим, как положено в предельном переходе. После предельного перехода в неравенстве в определении предела не строгость неравенства — это как бы ни к чему не обязывает. И всё. Значит, я получил разу вот для любого \(n\) больше, существует \(N_1\), что как только \(n > N_1\), так сразу выполняется последнее неравенство. Это то, что мы это определение, что дробь, только буква почему-то большая нарисована, дробь вот такая стремится к \(a\). Прямо вот получит определение предела. Ну ладно, хорошо. Значит, что мне тут требуется, чтобы это сработало? Ну вот нужно, чтобы волшебное правило работало. Волшебное правило сработало, нужно, чтобы знаменатели были положительные. Знаменатели положительные, от этого, чтобы при суммировании сработал. Понять, что если что, я могу поменять места. Жно, что все знаменатели имеют одинаковый знак. Если у вас после стремления к нулю продумать, что вот эти даже лучше будет, да, пишите \(P\), будет всё то же самое. Здесь, кстати, тоже ставится, и ничего не изменится. В итоге, короче, значит, чтобы сработало правило неправильного сложения, нам нужно, чтобы \(y_n\) были монотонные. Про \(x_n\) не надо. С другой стороны, если предел положительный, вот эти разности отрицательные, чтобы пость в \(D\) по, чтобы числитель был тоже отрицательный. То есть \(y_n\) тоже будут монотонные на самом деле с некоторого места. Значит, слово "монотонно", видимо, можно значит написать, начиная с некоторого места. Добавить. Судя по тому, как я воспользовался этой монотонностью, неважно, что с самого начала монотонно. Важно, что вот от больших номеров, когда идём, мы зашли в большие номера, там уже монотонно. Так, ладно. Ну а кто монотон? Ну пока что получается, что \(y_n\) достаточно сказать, что \(y_n\) монотонно, и тогда всё в порядке. Хорошо, давайте пока напишем, что \(y_n\) монотонно. Но на самом деле мы видим, что если мы потребовали \(y_n\) монотонно, то сразу получилось, что \(x_n\) сам по себе монотонный, иначе тут не будет вот этого предела положительно. Так что пока я сюда вписал \(y_n\). Так, хорошо. Поехали дальше. Значит, это я разобрал случай, когда \(a\) — уже существенно. Я разобрал основной случай, с которым психологически легко работать, положительное значение. Оказалось, что тут всё верно. Значит, если \(a\) равно плюс бесконечности, давайте разберём, что с этим делать. Ответ: да, всё, ничего менять не надо. Аналогично. В каком смысле ничего менять не надо? Но если у вас \(a\) равно бесконечности, то вы как определение предела будете писать. Вы скажете, определение предела утверждает, что при больших номерах все эти дроби очень большие. То есть вы как бы выберите \(a\), а у вас нету предела для описания. Вы можете ставить везде букву \(y\), будете вместо вот этих границ писать здесь, вы ничего не будете писать, потому что у вас будет больше, это и есть ваш результат. То есть у вас будет серия неравенств. Последняя дробь, все неравенства сложите, лежит между самой маленькой и самой большой дробями. И если все они больше, чем \(L\), то результат будет тоже верен. Суммировать фактически вот один раз я \(L\) напишу вот здесь, а после этого все вхождения \(m\) заменю на \(L\), а все правые части со правыми, и всё сработает. Получится определение предела, что вот такой предел равен плюс бесконечности. Так, хорошо. Ладно, что там ещё нам надо разобрать? Давайте разберём случай следующий, комфортные случаи \(a\) от минус бесконечности до нуля, включая минус квадратную. Ну тогда всё. Снова у нас даны \(a\), просто сменим знак у \(y\). Давайте вместо заданных пределов рассматривать совершенно аналогичные, но все и просто пусть поменяют знак. Поменяют знак, то это значит, вот в этом месте ничего не изменится. Они идут к нулю по-прежнему, просто знак сменился. Вот в этом месте ничего не изменится. Они по-прежнему остаются монотонными. А в этом месте метель. Измените предел, стал отрицательным. То есть если мы умели решать случаи \(a\) положительно или бесконечно, то после смены знака мы подм как раз вот в этот \(n\). Ну и наоборот, если нам \(a\) в этот диапазон, то после смены знака \(y\) мы подм в первые два случая, и там уже всё доказано. И получаем случай \(a\) или \(a\). Ну что делать, если самый такой простой вариант, типа давайте перевернём дробь. Давайте будем рассматривать не такой предел, перевернём, поменяем знаки местами. Здесь тоже повернётся. Если здесь было \(0\), то предел станет бесконечным. Вот в этом случае дробь к нулю и была положительной, то она идёт к плюс бесконечности. После того как поменяли местами. А если она была отрицательной, то к минус. Ну давайте я так сказать вот не буду в этом месте разбираться с этой теоремой. Может быть, как-то можно это охватить. Давайте, значит, в этом месте скажем, что если у нас обе последовательности, обе я их переворачиваю, после переворачивания, проне тоже, чтобы он был. Значит, если я имею информацию о том, что обе последовательности монотонные, то тогда у нас автоматически в результате вот это выражение у него стабилизируется знак при больших \(N\). Они обе монотонные, значит, это знак всегда один и тот же. Более того, за счёт фокуса, который я уже предлагал вам, можно считать, что знак, скажем, положительный. Ну и тогда получается, что вот у вас эти дроби, они положительные, стремятся к нулю. То есть если я переворачиваю эти дроби, они становятся по-прежнему положительными, стремятся к плюс бесконечности, и мы попадаем вот в случай \(T\). Итого, в этой ситуации я хочу, вот этого мне мало. Значит, считаем, что \(x_n\) и \(y_n\) обе последовательности монотонные. Ну тут слово "монотон" строго монотонно, иначе как бы нам вот это рает. Садо исправить, подго получится. Значит, получается, что дроби \(x_{n+1} - x_n\) и \(y_{n+1} - y_n\) вот это выражение при больших \(N\) имеет фиксированный знак. Фиксированного знака выражение фиксированного знака 3. Ну и раз оно фиксировано знако при больших, то это значит, что если оно, если вот эта дробь стремится к нулю, то тогда автоматически противоположная дробь, поменяли местами числитель и знаменатель, стремится к плюс бесконечности. Я тогда могу сказать, давайте вместо того предела, который нас беспокоит, \(x_n\) и \(y_n\), мы не понимаем, почему считать, и пытались бы применять. Но давайте тогда будем считать предел \(y_n\) справа. Перене в этой ситуации мы знаем, что уже определение. Тогда значит по пункту это значит, что \(y_n\) стремится к бесконечности. Ну и это значит, что ре к... Ну то есть как бы утверждение, говорите, считаете этот предел. Попробуйте вот этот. Мы попробовали, у нас получилось, мы сделали. Вот хорошо. Ну значит, вроде теперь стало всё хорошо. Значит, вот основной случай говорит, пусть последовательность только \(y\) монотонно. На самом деле можно и тут потребовать, вы ничего не потеряете, что \(x\) монотонный, иначе тут дальше что-то не сработает. Но чисто формально, может быть, пока не надо. Так, а значит звёздочка означает, что я вот во втором случае, когда всё дел нулевой, вот там подправил условие. Да, на этом месте. Так, давайте что ли что-нибудь найдём. Ну давайте я новейшие технологии приму, поста найти страшное дело. Значит, я докажу вам теорему Гаусса. А у меня не получится. Это же стоматия история про Карла Гауса. Говорит, что когда он был маленький, учился там маленькие дети, всё время учились в той школе или что-то такое. Значит, ну а там такая значит школа сельская, типа, ну все, ну как в наших сельских школах. Можно карти поть, прошло позапрошлого, там сразу разного возраста ученики в одном помещении, там учитель разрывается между ними. Там, значит, в общем, такая ещё учебная обстановка. Вот захотел за пивом сходить, что-то такое, в общем, отлучиться надо было. Он решил: "Ну ладно, сейчас мы на них примем сложную задачу". Мне надо, он сложную задачу, пота сум чисел достал и уже пошёл бы за пиво. Говорит: "Я знаю, сказывается, что он знает". Он доказал такую теорему, что \(1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\). Говоря детям, этому надо относиться уже к математике, номер о ре математиков. Поэтому что он доказал 10 лет, это не значит, что я сейчас могу доказать. Я попытаюсь. У нас есть новая технология. Давайте пытаться применить этот замечательный результат. Давайте скажем, что вот это неизвестная нам величина от Гауса \(x_n\). А мы попытаемся сразу сказать, что слабее результат, я не сумею точно посчитать эту сумму. Это вычисление мне не по силам. Я асимптотически его посчитаю. Я буду подобрать \(y\) так, что предел \(y\) равен. Я хочу подобрать. Примерно я на самом деле могу посмотреть в ответ. Я хочу сказать само сейчас изоб. Так, хорошо. Для этого при \(y\) я хочу вот этот результат взять и посчитать. Вот это я вам тут объяснял, что кажется не очень важно. Слушайте, да, виноват, я забыл вам прекрасное следствие сообщить. Я уся. Да, пока я... Ну ладно, давайте. Хорошо, у меня ответ. Я у меня есть место следствие. Следствие, а не я вам правила доказал в одном флаконе, единой теорией. В частности, там были варианты, когда стремится не только к нулю неопределённость, но давала к бесконечности тоже. А здесь неден. Но, наверное, давайте я не буду этим сейчас заниматься. Вот, ну надо что-то тут как-то тоже придумать, там поправить или что-то сделать. Замечание для неопределённости. В обе переменные стремятся, ну допустим, плюс бесконечности. Давайте так скажем, плюс бесконечности. Теорема тоже верна. Ну а так сказать, поскольку мы ревизией не занимались, то давайте будем считать, что вот это вот условие монотонности учтено по максимуму. Обе после монотонности — это такое упражнение, разберитесь сами, чему в конце концов. Вот, и на этом работа захо. Так вот, ят имен с эти ясно, что о ре Бене \(y\) я его сейчас изоб. Я в некий момент скажу, давайте возьмём вот так \(y\) тоже стремится к бесконечности, явно монотонно. \(y\) я сейчас опять-таки вам предъявлю. И сразу будет видно, что тоже возрастает. Поэтому условия связаны сдвинув индекс на единичку. Да, значит, \(x_n\) вычесть \(x_{n-1}\), а здесь \(y_n\) вычесть \(y_{n-1}\). Это же одно и то же, правильно? Раз бесконечно. Ну вот у меня \(x_n\) написано, \(x_n - 1\) — это сумма чисел от 1 до \(n - 1\). Это значит разность \(x_n - x_{n-1}\) — это \(N\). Ну про \(y\) я ничего не знаю, поэтому пока так оставлю. Но я не знаю, но я же собираюсь какой-то \(y\) попробовать изобрести. Поэтому как бы вот, вот я сейчас изобрету \(y\) и хочу, чтобы это было единицей. Ну и как такой \(y\) изобрести? Да, попробовать какой-нибудь \(y\). Ну на самом деле там ответ просвечивает. Да, давайте возьмём \(y_n\) вида \(\frac{N}{2}\). Тогда \(y_n - y_{n-1} = \frac{N}{2} - \frac{N - 1}{2}\). Тогда вот здесь у меня стоит \(2n - 1\) сверху, 1 снизу, 2, минус 1 не сошлось. Значит, надо половинки взять. Ну и тогда это нормально. Тогда \(y_n\) чисто \(y_n - 1\) — это \(N - \frac{1}{2}\). То есть вот сверху \(N\), снизу \(N - 1/2\), и благодаря этому, да, единица, всё получилось. Итого мы получили альфа-версию теоремы Гаусса, а именно мы доказали, что \(1 + 2 + \ldots + n \sim \frac{N^2}{2}\) при \(n\) стремящемся к бесконечности. Это не то, что Гаусс доказал, но уже, так сказать, не. А у Гаусса есть ещё, а у Гаусса выписано, попо-плю. Так, ну как у нас тут дело поставлено на поток? Давайте найдём второй слагаемый. А тут. Итак, версия дубль 2. Давайте в качестве \(x_n\) возьмём тот \(x_n\), который был, и отнимем от него \(\frac{N^2}{2}\), который мы нашли. То есть как бы теперь моё \(x_n\) — это вот это минус вот это, а \(y_n\) давайте снова возьмём какой-то произвольный. Давайте опять попытаемся подобрать такой \(y_n\), чтобы \(x_n\) и \(y_n\) было равно единице. Ну опять запускаем теорему, что так на этот раз у меня... Ну значит, когда вот такая штука для \(N\) посчитана, и такая штука для \(N - 1\) посчитана, это будет \(N\). Это я вычислил, вот тут, когда такая штука для \(N\) подсчитана, для \(N - 1\) подсчитана, это будет вычитаться \(N - \frac{1}{2}\). Вот так. Так, это ещё раз, вот я разности считал, сколько будет такая сумма, и такая же сумма для \(-1\). И чему равна разности вычислитель вот этой? А когда я беру такое выражение при \(n\) и такой же при \(n - 1\), вот это, то есть разность. Вот она тут почина. Поэтому я на самом деле всё уже уличил раньше. Значит, получается, что мне нужно, чтобы вот такой предел \(\frac{1/2}{y_n - y_{n-1}}\) был равен единице. Ну и я говорю: "О, здорово, чит, если я \(y_n\) возьму пополам, то очевидно, всё получится". Ну опять, тут вы же видели, да, вот там история болезни. Сверху вот я применял правило Лопиталя три раза. Я применил неправильно. Ну три раза я, значит, не сумел применить правило, значит, проверить условия теоремы. \(Y\) я построил. О, честно говоря, почему \(x\) монотонный? Ну я не знаю, давайте я не буду на это отвлекаться. Это какая-то задача. Ну она, к сожалению, видите, при таком взгляде на вещи я балансирую, считаю, да, но как бы избегая традиционных, там не говорю слово "прогрессия", не говорю никаких отрубил все знания, но потом рубил суперзнания в стиле. Поэтому как-то тут, ну вот на этом языке трудно объяснять монотонность. Тщательно избегать, так сказать, альтернативного подсчёта этой же самой суммы. Ну скорее всего она не понадобится, это так, её монотонность здесь написала, что нужны обе, потому что я аккуратно не смотрел. Я думаю, что одной монотонности на самом деле достаточно. Так что я надеюсь, что вот моё замечание, что \(y_n\) монотонно, его достаточно, и тогда я получил утверждение. Ну совсем здорово. Я получил такую формулу: \(1 + 2 + \ldots + n = \frac{N^2}{2} + o(1)\) как почти результат, приблизились, так сказать, к достижению великого математика. К сожалению, дальше я так не смогу. Я потом эту проблему решу дополнительным способом. Мы привлечём помощь. Прото можно почти. Вот, а пока это тупик. Почему тупик? С пова мне не будет неопределённости сейчас у меня так по смыслу следующее слагаемое ожидается, наверное, что оно будет константой. Ну, нужно, какая сщт константа, она к нулю стремится, это хорошо, но это надо откуда-то знать. Вот как бы, почему не константе, почему тут вот следующее выражение не константа? Это сложный вопрос. Ну то есть, ещё раз, я решаю в которой это так и есть, но вообще говоря, чуть-чуть проформ, что-нибудь, и у вас в следующем слагаемом будет вылезать константа. Скорее всего, я даже неправильно сказал. Скорее всего, она будет просто там содержательно не нулём, как в теореме Гаусса, а какой-то содержание. Ну и тогда получится, что найти эту константу трудно. Неправильно, надо так сказать, если следующее выражение, то её найти очень трудно. И вообще говоря, в этой технике нельзя. И вообще может быть нельзя найти константы такого сорта. Асимптотика — они проблемные, её трудно найти. Так, замечательно. Хорошо. Так, ну у меня возникает сейчас... А, мы должны закончить 112. Да, это я ещё не... Может, надо тогда поу что ли? Ну раз уж я теорему соорудил, то может её доказать всё-таки? А то как? Ну то есть я собрался доказывать с помощью... Как он говорил, с помощью формулы рана. Но раз... Как нехорошо. Ну мы получили почти результат, но не до доказали. Давайте я приведу альтернативное настоящее доказательство. Доказательство. Ещё доказательство. Так, сейчас, чтобы не запутаться. Значит, давайте рассмотрим такую функцию. На потик сейчас. ЕС продин. Потом нам нужно на \(X\) о же. Хо наложи. А, фни, да, спасибо. Да, давайте я это так запишу чуть-чуть более помпезно. Значит, я буду считать, что я взял функцию \(F\), я на неё подействовал оператором дифференцирования и оператором умножения на \(X\). Просто есть буковка \(X\), как те, но \(D\) по \(DX\) — это взять производную, а \(X\) — это как дополнительный множитель. То есть я такой штукой подействовал на \(F\), у меня получилось вот это. Хорошо. Это значит, что если я такое дело проо при та конци, у меня получится, что была такая сумма, когда я вот один раз эту штуковину напустил на функцию. Вот всё показа при повторном применении, ещё раз выскочит ещё одна двойка, ещё одна тройка, ещё одна \(n\). При следующем ещё, ещё, ещё. Итого получится после кратного применения такая штука: \(1^n + 2^n + 3^n + \ldots + n^n\). Значит, таким образом Гаусс нам тут спрашивает, чему равна сумма чисел от одного до \(n\). А я понял, чему равна сумма чисел от не чисел от одного до \(n\). А сумма \(N\) \(N\) большое степеней с показателем большое, да \(1^n + 2^n + \ldots + n^n\) — это на самом деле. Вот что такое. Это вы взяли нашу вот эту функцию \(F\), подвергли её вот этому, вот мско образованию, большое же, получили некоторую функцию. И теперь, Э, теперь, теперь, теперь подставили в неё единицу. Вот так. Ну если вы подставите сюда единицу, то вот это оно и получится. О, Жень, потихоньку налаживается. Хорошо. Значит, я тогда могу сказать, что \(F\) же я могу найти. Это же происходит, люй Драк, можно найти. Тут искать, это \(X\) — \(1 - x\) в степени, что только, наверное, \(X - 1\). Так, что-то это не то. Нет, было лучше. А сейчас давайте мы считаем человечески сумму прогрессии. Да, значит, если я суммирую, если бы ту с единицей было, то это было бы вот столько, а мне надо отнять единичку. Так что опять прави было бы не столько, а вот столько. Вот \(x_n - 1\) на \(X\). Вот столько только тут плю. О, кажется, так. А опять наоборот. Всё, теперь получилось после десятого исправления. Ну сложно работать. Ну теперь верно. Так, это значит, ну мне не то чтобы это важно упрощать, можно так и оставить в принципе, но да, сть так и остаться. Зачем остави? Так, хорошо. Значит, того кажется, получается, что я установил, что вот эта сумма такая написана. Это знат, надо взять разок оператор \(D^n\) по \(DX\) в степени \(N\) большое, подействует на функцию вот эту. А, ну уже первое же дифференцирование убьёт эту единицу. Поэтому давайте я сотру эту единицу. Значит, \(x_n + 1 - 1\) по \(X - 1\) этим оператором действуем на эту функцию и подставляем единицу. Так, хорошо. Ну ладно, давайте это посчитаем. Нодь понятно, как это вы будете вычислять. ЕС просто берите, дифференцируйте. Кстати, потом учите, потом ещё дите \(N\) большое кратного применения этой формулы. У вас знаменатель будет иметь степень \(N + 1\). Знаменатель будет равен \(x(x - 1)\) в степени \(N + 1\). И вы сюда единицу хотите представлять. То я хочу сюда единицу представлять, тут ноль в знаменателе, а я хочу единицу поставить. Вот что ж делать? Ну во-первых, мы же знаем, что результат получится нормальный. То есть тогда получается такая ве, тут написана какая-то страшная рациональная функция, которая, ну, при \(X\) равна, выглядит некорректно, но видимо по непрерывности при \(X\) стремящемся к единице она должна выдавать вот это значение. Ну вот если вы представляете \(X\) неравно единице, то нам выдаёт вот эту сумму. Вот в этой сумме, ре, всё в порядке, дробь, она равна на самом деле вот этой сумме. То и вот в таком виде, как мы её списали здесь, посчитали, она должна нам выдавать вот этот предел. О, значит, и того, здесь написана какая-то рациональная функция, у неё в знаменателе сидит вот это чудище. И на самом деле у этой функции есть хороший конечный предел при \(X\) мех единице. Как же нам быть? А чем сейчас заняты? Заняты обсуждением правила Питали. Его плоно. Ну надо просто почитать этот предел по правилу Питали. Поре всего. Поэтому значит, раз единица, видно, что она не подставляется, надо применить правило Питали. Большой плюс один раз. Ну чтобы полностью убить знаменатель, вы как бы один раз продифференцируете, он всё равно останется нулевым безобразием. Ещё разочек, ещё, ещё, ещё. Значит, и того применяем \(N\) по разу правило Лопиталя. **Лопиталя** — как это записать? Что-то вмешается у меня, такая хорошая тут запись получилась. А как это записать? Надо что-то в числе. Давайте так, идеологически применяем. То есть на самом деле мы применяем его, но я буду действовать по-другому. На самом деле я могу сказать так: э, вообще-то, если я возьму... Давайте сверху напишу. Если я возьму вот эту нашу функцию, где \( f(x) \), \( D \) по \( D x \) в степени \( m \) и домножу её на знаменатель, знаменатель у нас имеется степень \( p \), я полностью этим знаменателем сокращу. А значит, ещё раз, вот у нас было какое-то \( H \), \( x - 1 \) в степени \( p \). Я предлагаю сделать следующую вещь. Я предлагаю взять \( h(x) \) на знаменатель, смотреть функцию \( h(x) \). На самом деле, я вот это \( N + 1 \) умножить на нечто полезное. Вот если я в это нечто полезное подставлю единицу, вот она-то у нас и будет ответом. Ну это же дробь рациональная, тут многочлен делить на многочлен. Поэтому если тут знаменатель какой-то проблемный, и ещё вот такой, то за счёт чего функция имеет конечный предел? За счёт того, что на самом деле как много, вот он сверху раскладывается на множители, это полностью сокращается. Так что вот эта функция \( h(x) \) устроена так, она имеет вид, значит, нечто умножить на вот это вот выражение. Значит, в частности, это значит, что при \( x \) стремящемся к единице она эквивалентна. В единице — это то, что я ищу. На \( x - 1 \) в степени \( p \) вопросик единица — это мой ответ, да? Значит, вот так это. Ага, замечательно. Ну давайте ещё раз посмотрим. Функция \( h(x) \) получается при \( x \) стремящемся к единице имеет такую механику. Я сказал, что при правиле, но я сейчас ушёл в альтернативную запись. Я уложил, что значит, что функция \( h(x) \) формула Тейлора устроена так, у неё идут нулевые слагаемые до того большого включительно. А вот первое ненулевое слагаемое — вот этот коэффициент, это просто первая ненулевое слагаемое формулы Тейлора, и этот коэффициент — это не что иное, как \( h^{(N)}(1) / p! \). Ну потому что как устроена формула? Вот какая-то функция, неважно какая, много раз дифференцируема, как единица. \( h(x) = h(1) + h'(1)(x - 1) + \ldots + \frac{h^{(N)}(1)}{N!}(x - 1)^N + \ldots \). Ну вот какого места нужно, куда, где в этой формуле? Почему здесь не сказалось? Сказывается, потому что производная тоже, что же, вот как раз когда до допроизводной там и не дальше идёт \( (x - 1)^p \) и плюс ещё более мелкие слагаемые. Вот тут-то оно и не вопрос. Есть это значит тогда получается вот что. Давайте мы рассмотрим вот это выражение. Значит, я как бы дробь домножил на эту степень, это у меня как бы \( h(x) \), вот оно, и я должен, ну вот сделать вот это, то есть посчитать \( h^{(N)}(1) \). Ну собственно, вот всё. И теперь вот после этого подставить единицу. Ну ещё поделить на \( (N + 1)! \). Вот это, ну теперь-то нам Гаусс включил. Давайте подставим сюда \( N \) равное единице и посчитаем. Можно это, кажется, должно получиться. Если только время позволит, как раз так перестало реко и посчитать. Значит, того я как бы пытаюсь взять \( N \) равное единице. Меня интересует сумма чисел, сумма чисел от одного. Так это значит, ну вот здесь \( N \) маленькое — это как бы до какого места считается, то есть маленькое — это вот как в сумме \( 1 + 2 + \ldots + n \), а вот большое — это единица. Значит, мне тогда, ну вот кажется, результат написан. Я должен посчитать тогда какую штуку. Значит, я должен взять... Ну ладно, попробуем здесь написать. Значит, я должен взять \( (x - 1) / (x - 1) \), это дело подвергнуть однократному дифференцированию. Давайте, всякие операторы, чемпи, может, при чит применить вторую производную и потом подставить. Даем. Ну давайте считать, что уж там. Слушайте, это всё развелось, собственно. Ну берёте и считаете, проблем нет. \( \frac{1}{2} (x - 1)^2 \) так производная. Ну что там? Производная числителя на знаменатель, производная знаменателя на числителя. Квадрат знаменателя. Это я вот это написал, а \( x \) ещё куда-то сюда надо приписать, он тут где-то ещё должен быть написан. Ещё на \( x \), а я его потерял. Да, мозг отказывается. Квадрате вот проливал. Ага, ну ничего, так нормально. Знаменатель любезно сократится. Хо, налаживается. Знат, что получилось. В числителе просто менять далеко не бежать. Получится фактически вторая производная здесь такая. Так, и в производную оста почитать \( 1 \) в. Значит, это всё ещё потом \( x \) равное единице будем подставлять. Так, значит, вторую производную сразу считать. Это значит получается \( N (N + 1) \) ещё одно \( N \). Ну и сразу \( x \) равное единице подставил, и сюда вычесть \( N + 1 \). Так, \( N \) уже написано, станет степень \( N + 1 \). Ещё \( N \) вот так. Так, \( p_{11} \) получилось. Получилось, готово. Я доказал теорему. Я правда зано сделал заготовку, которая для тех, кому вдруг лень по индукции придумать. Это сумма квадратов, сумма первых степеней квадратов или кубов. Ну вообще индукция подбирается там за 5 минут, но если лень, то можно не за 5 минут, а за по этой волшебной формуле просто посчитать. О, да. А так в принципе, значит, чем больше номер закажем, тем больше дифференцирование, тем больше, большо дифференци. Одно то есть это такая вещь, правда, вот в этом месте хорошая новость. В этом месте вы уже будете дифференцировать много, поэтому как бы это не... Это дифференцирование противно, это дифференцирование. Вот замечательно. Итого, значит, перед вами два доказательства Гауса. Одно теоретическое, оно не дошло, я его ере. Второе — оно совершенно так на пустом месте создано, но зато видите, как напрягает. Вот хорошо, оно, собственно, было создано ради того, чтобы показать, что так можно играть в эту математику, вот писать такие выражения. Давайте решим загадку. Последняя секунда. Решите мне, пожалуйста, загадку. Значит, загадка: надо найти, упростить выражение. А выражение такое: вы берёте экспоненту в степени и применяете эту штуку к... Ну, условно говоря, это \( f(x) \). Вот надо сказать, чему это равно, как вот упростить. Так, хорошо. Теперь вернёмся к интегралам. У нас вообще генеральная линия разбираться с интегралами. Значит, мы в прошлый раз эксплуатировали такую технику, а именно вот то, что у нас имеется функция, большое это аддитивная функция промежутка. Тут, наверное, вот так можно поставить. Ну неважно. Ну тут неважно, пока мы так говорим, можно и так. Значит, сейчас или это, если вать сразу с теоремой, тогда сть он будет за... Ну ладно, нормально. Значит, в да, то есть у вас имеется функция \( F \), просто действующая из \( B \) и у нас, так сказать, вот такой подход к изучению активных функций промежутка. То есть мы говорим, что функция \( F \) маленькая — плотность функции \( f \), если выполнена такая вещь для любого отрезка. Ну вот из допустимых для вычисления с помощью функции \( f \). Да, любого отрезка из этого множества сегментов выполняется, что вот этого отрезка \( PQ \) — это интеграл. Её применили, вывели какую-то там формулу, формулу вычисления секторов полярных координат, замечательно, площадей секторов. Да, хорошо. Я хочу ещё взглянуть на этот подход к функции промежутка. Значит, дело в том, что вот в теореме о вычислении площади сектора мы воспользовались прямо определением. То есть мы как бы влог проверили, что там функция, которая у нас в ответе по интегралу засветилась, это плотность, проверили, что это плотность по определению, и всё, и готово. И тем самым заработали интегральную формулу. Я хочу это как-то немножко облегчить. Дело в том, что так вот, э, доказательство таких формул, ну вот его не всегда удобно делать, сводя к определению. Всё-таки хотелось бы как-то такой вот путь, предоставляющий большую свободу действий. Вот я, значит, такой путь предлагаю, называется теорема обобщенная теорема. То есть в этой теореме объясняется, что нужно проверить про функцию, чтобы она являлась, можно вычислять с помощью интеграла. Ну то есть это тем самым будет ещё один способ получения интегральных формул, когда про функцию, ну вот надо какое-то другие условия применить. Итого, значит, давайте пусть у вас имеется функция \( f \), как сказано. Значит, ну, наверное, буду писать отрезки тоже здесь, сами откуда берутся промежуточные скобками. Значит, действует из множества промежутка на - это ивная функция промежутка. Функция \( F \) действует из самого промежутка, и она непрерывная, плотности только непрерыв будем рассматривать. И вот значит, начинаю. Что же мне нужно проверять про, чтобы сделать? Я хочу, чтобы для любого отрезка \( D \) из элементов у нас было задано две величины, так сказать, вычисленных, так сказать, нам в помощь с помощью функции. Значит, заданы две функции промежутка. Никакой аддитивности о них не требуется. Вот значит, для каждого \( \Delta \) задана величина маленькая \( \delta \) и большая \( \Delta \). Неформально говоря, это маленькая \( \delta \) и большой \( \Delta \) — это должны быть, ну как бы такой вот максимум имени у функции \( F \) на отрезке \( D \). А точнее, возможно, слегка заниженный максимум, то есть поменьше, чем максимум, слегка заниженный минимум или слегка завышенный максимум. А и слегка за. То есть вот эти величины — это, ну, что-то типа максимума и минимума функции \( f \) на промежутке \( D \), возможно, чуть-чуть, так сказать, отодвинута, чтобы этот диапазон был пош. Значит, ну требования вот такие официальные. Значит, во-первых, эта штуковина, пара вот этих оценок, они должны нам моделировать определение плотности. То есть как бы известно, что для любого, для любого \( D \) они заданы, и для любого \( D \) выполняется, что выполняется вот оценка определения плотности, а именно \( \inf F \) на длину отрезка и превосходит \( D \) меньше, чем \( \sup F \). Раз функция непрерывна, можно говорить и о максимуме. Да, хорошо. Давайте уточним, что да, совершенно верно. И с точки зрения взгляда на функцию это тоже подтверждается, а именно второе требование такое. Если вы берёте совершенно любую точку на отрезке \( D \), то вы обнаруживаете, что действительно значение \( F(x) \) зажато между маленьким и большим. Действительно, что маленькое — это либо непосредственный минимум, либо может быть слегка заниженный, а может и не слегка, кстати, просто занижен. А большое — это максимум, ну или слегка завышенный. Ну имея в виду, что всё-таки мы верим в то, что эта штука должна были соответствовать. Да, вот по этому поводу тренк, который говорит, вот поста. Это минимум функции, это максимум, но можете их, так слегка отодвигать друг от друга, пожалуйста, не жалко, но не слишком, не слишком отодвигать, а именно должно выполняться такое свойство. А, ну давайте я напишу на макроязыке. Значит, для любого фиксированного \( x \) на промежутке \( O \). Ну я так напишу, может быть, не очень понятно, что \( \Delta \) — это маленькое, \( \delta \) стремится к нулю при условии, что длина \( D \) стремится к нулю, а лежит на. Ну это попытка передать суть вещей таким описанием. Маздам записывают с другой стороны, получается немножко не строго. Получается, я точку зафиксировал, могу выбирать произвольные промежутки, содержащие эту точку, ужи мать их, и вот тогда вот это раз стремится к нулю. То есть получается такая вещь. Я взял разностное соотношение, оно зависит от \( H \), взял \( F(x) \), взял эту разность и вижу, что модуль разности этих двух величин стремится к нулю. То есть это значит, что \( F(x) \) — это просто производная. Ну формально правая производная, потому что у меня \( H \) больше. Ну так, наверное, значит, чтобы всё хорошо работало, чит, в результате я так пока всё чинил, я сказал, в смысле, пока вот это рассуждение строил, я про все переменные всё аккуратно говорил. Видимо, всё-таки начальная фраза, что я начал писать в какой-то точке \( x \). Ну так вот станет совсем всё хорошо, если я скажу, что фиксировал с самого начала какую-то точку \( x \). Да, я в ней вёл рассуждение. Ну да, я её нигде не менял. Ну надо было это с самого начала сказать, чтобы зафиксировать. Получи вот. Ну аналогично я получаю аналогично \( F' \) в точке \( x \) равно \( F(x) \). Ну и тогда это всё проверено как теоремы плотности. Тогда это автоматически означает, что всё, да, у вас имеет место интегральная функция. Тут получается, что удобнее говорить, что вы доказали тем самым наличие интегральной формулы. А интегральная формула означает, что \( F \) маленькая — это плотность. Вот так значит, тут сказано наоборот. Э, плотность выставлена как, так сказать, математическая причина, почему интегральная формула имеет место. На самом деле формулу установить можно и без. Давайте задаю, то есть выполнено формула звёздочка. И следовательно, маленькая — это плотность. Ф. Готово, получилось. Ну хорошо, давайте я продемонстрирую, что эта штука летает. Давайте я замечу такую, как бы простую, простой факт, пример. Я не буду это так скало доказывать, но с другой стороны это легко доказывается совершенно. Или может докажем? Давайте, ладно, может докажем. Рассматриваем такую ситуацию. У вас есть какой-нибудь отрезок, есть какая-то функция \( F(x) \), жали её под график и сделали такую вещь. Лет 90 назад такого сорта взи считал бы совершенно необходимым для учащихся. Нужно устраивать такие, как бы это сказать, уроки трудового воспитания. Так, какая-то такая вот прикладная знакомства с прикладными профессиями. И наверняка могли бы в качестве такого урока на уровне происходящего, достаточно периодично, регулярно, скажем, раз в месяц, устраивать раз в месяц понедельник анализа. Идём куда-нибудь на такой завод, на скую фабрику и смотрим, как они там работают, что они там делают, приобретаем, так сказать, взгляд на то, как устроена наша техническая промышленность. Чтобы, значит, в случае чего, когда вас инженеры отсюда выпустят, вы там чит понимали, как пораи. Вот в такой ситуации, если нас ведут на какую фабрику, тогда нам читают лекцию по технике безопасности перед тем, как пойти в цех. Лекция по технике безопасности говорит, что, ребята, тут нормально, всё хорошо, всё в порядке. Главное, пожалуйста, не трогайте никакие красивые гладкие поверхности. Вот ни в коем случае нельзя трогать руками никакие гладкие красивые поверхности. Это вот основная практика. Почему? Потому что когда вы идёте на скую фабрику, там станки, там чи есть какие-то катушки, какие-то очень быстрые вращения, каких-нибудь специальных агрегатов. В случае, если вы встретите какую-нибудь такую штуку, значит, у вас тут есть такая вот спица, на ней сидит пластинка, есть перпендикулярная спица. Ну а здесь, условно говоря, давайте смоделируем это на уровне домашнего, так сказать, обихода. Эта штука вставлена в дрель и вот так очень быстро крутится. Очень быстрое вращение, что вы здесь увидите, эта штука быстро крутится. Ну вы увидите, что эта пластиночка, она описывает движение, и у вас тут возникает такая фигурка. Значит, вот она тут крутится, у вас такая кольцевая фигура возникает в пространстве. Если тут формы плавные, то эта фигура очень плавной формы. А если она крутится при плохом освещении с теми ловушками, которые у них там были, а если она крутится вот какой-то скоростью, вы её воспринимаете как сплошную монолитную и очень красивую. Она, так сказать, усреднена, у неё такой матовый палец. Вот, вот, чит, соответственно, весь оттуда приход. Давайте посчитаем объём этой штуки, которую только что, значит, видели на фабрике. И читали лекцию по технике безопасности. Вот я хочу решить такую задачу. Давайте договоримся, что мы рассматриваем объём под графиком функции \( f \) на отрезке, а вокруг оси \( O \). Ну я вот вам так сказать описал примерно, что это такое. Значит, это в быту. Вы можете встретить на ской фабрике. А бывают такие девайсы для печки, такие лицевые, такие кексики, такая чудо-печка. Имеется в виду, что если вы кексик печёте, там такая дыра в середине, то он пропекается. Соответственно, сюда наливаете в эту вот кольцевую, так сказать, кастрюльку. Вот оно там живёт кусочком, запекается кекс. Будем считать объём этого кекса при условии, что он вращательно симметричен. Верхний край, если вращать, он задаёт поверхность. Что такое вращаем вокруг? То есть считаем такую функцию, которая говорит, что надо посчитать объём. Ну объём, да, площадь объём — это вот как бы на уровне, так сказать, обсуждали. Значит, я верю, что в пространстве задан объём, который обслуживает наши потребности. Объём какой фигуры? Ну вот такой фигуры, значит, фигуры вращения этого под графика вокруг оси. Да, давайте опишем, что какая точка в пространстве \( X, Y, Z \) лежит в этом нашем кольце. Ну чтобы точка лежала в кольце, надо, чтобы, ну вот как бы точка \( X, Y \) в кольце. Что значит? Это значит, если проецируется плоскость \( XY \), вы попадаете в зазор между окружностями радиуса \( A \) и радиуса \( B \). То есть это значит, что \( A \leq \sqrt{X^2 + Y^2} \leq B \). Значит, точка \( XY \) у неё расстояние до, ну это корень из вот этой суммы. И вот, ну а кроме того, нужно, чтобы она с вот прое, так сказать, нище нашей вот этой цилиндрической кастрюльки, чтобы она, так сказать, всё-таки внутри кекса сидела, а не где-то сверху-снизу. Значит, нужно, чтобы \( f(Z) \) лежал в диапазоне вот в таком. Да, значит, если вы спроецируете точку, то вот она при вращении пришла вот из этой точки, которая находится на расстоянии корень \( X^2 + Y^2 \), и вот нужно, чтобы точка \( Z \) она соответствовала, так сказать, отрезку, лежащему в графике, чтобы координата \( Z \) отвечала за это неравенство. Значит, вот объём такой фигуры мы будем считать. **Считать замечательно.** Ну и ответ. Ну так сказать на вопрос, как считать объём. Да, значит, такой объём вычисляется по формуле: \[ V = 2\pi \int_{A}^{B} x f(x) \, dx \] Это я как бы сообщаю вам ответ, а так сказать доказательства я не знаю, может быть, не буду совсем в деталях. Ну стартовую точку доказательства не знаю, сами слова. Сложи, что случайное доказательство получите. Ну ладно, доказательство. А так в принципе с какая-то недоста состоять тоже неплохо. Значит, решение очень простое. Значит, давайте я ещё раз продублирую. Давайте посмотрим на фигуру. Так, у нас буква, ну какую-нибудь там \(A_1\) — это вот это. Мы берём на отрезке \(A\) и строим прямоугольник, высота которого равна минимуму функции. Прямоугольник, который целиком самый большой прямоугольник, который целиком помещается под графиком, и мы вращаем прямоугольник. Вращаем прямоугольник какой? Ну вот это вот по иксу, это отрезок \(A\), а по \(y\) это отрезок от нуля до минимума функции. Получается такое настоящее кольцо. Ну такое кольцо. Единственное, что не глядя, это тот случай, который я могу посчитать без всякой интегральной формулы. Это бы ещё раз фигура \(A_1\) получается площадь, это прямоугольник, который вращался. Вращался, то пошире немножко нарисован. Неважно, получилась такая фигура. Значит, это просто разность двух цилиндров. Да, это объём цилиндра, который в основании имеет круг радиуса \(r\) и высоты \(h\). И значит, это \(V = \pi R^2 h\) и вычесть \(V = \pi r^2 h\). Объём фигуры \(A_2\) — это вращаемый объём прямоугольника \(AB\) крест отрезок максимум функции. То есть как бы берём вот более крупный треугольник и его вращаем. Ну соответственно будет объём \(A_2\) это аналогично. Значит, получается: \[ V = \pi R^2 h - \pi r^2 h \] Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) на \(B - A\) разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2b\). А аналогично \(F\) от \(\Delta\) больше либо равно \(M\) маленькая \(\Delta\) на \(P\) мину. Ну на длину, ну скажем, на длину. Так, тут какая-то разница. Да, значит, в этом месте я как бы, считая, что ввёл такие временные обозначения, что давайте вот поскольку формулы уже написаны, термина буквы \(A\) и \(B\) всё-таки может вернуться к букве \(A\) и \(B\). Я не знаю даже. А, ну и ладно. Значит, вот я фигуру вращения теперь вращаю. Такое значит объём не превосходит объём фигуры \(A_1\), построенный по отрезку. Тут я строил \(A_1\), как бы думая, что мой отрезок называется \(A\), а сейчас я буду думать, что он называется просто \(A\). Объём я уже считал фигуре \(A_1\). Вот он написан, только не о \(A\). Извините, у меня, когда я вращаю прямоугольник, который содержит целиком под график, я получаю большую фигуру. 2 объём фигуры \(A_2\). Вот он подсчитан, он равен \(\pi\) максимум \(F\) на \(B - A\). Разложу на множители \(B + A\) на \(B - A\). И это не превосходит \(M\) большое \(\Delta\) на \(B - A\). По что большое? Это \(\pi\) есть такая буква, максимум \(F\) есть такая буква и максимум выражение \(2x\) на отрезке \(AB = 2b\). А здесь оно всего лишь \(A + B\), то есть вот я вот эту штуку заменил в этом месте. \(A + B\) заменил на \(2 **Доказывать** три яп кво рали даже непрерывные пути уже такие доста логические обе, поэтому я т чтобы мне попроще было дополнительно. Ещё пряму дополни, свою. Я буду считать, что тив, что разные точки отображаются в разные места. Нет самопересечения — это меня устраивает. Ну а если будет самопересечение, ну так что? Вот рассчитайте вот такой кусочек, а потом рассчитайте второй кусочек. Ну сложите позитивности, так что это как бы на уровне несложных объектов, несложных путей — это всё нормально. А уж если вы там хотите, чтобы эти пересечения, так сказать, были слишком уж такое ронское движение, всё время само с собой пересекается, но это значит, что как бы вот тут вот да, может быть, что-то такое надо было раться, но это очень специальный случай. Итого, значит, считаем гамма тив. Гамма — это ц разные точки, отразились разными стам. Соответственно, э, для отрезка PQ, лежащего в множестве сегментов отрезке AB, заводим функцию ф адиси, вну функцию промежутка и считаем, что ку — это длина пути гамма, суженного на отрезок пу. На самом деле, вот это овно свойство номер д — это главное свойство, благодаря которому я тут не сомневаюсь, пытаюсь писать интеграл. Значит, надо проверить, что функция, которая написана под интегралом, то есть норма гаш Отт — это странная функция, это плотность. Лоно, вот по поводу этого с помощью этого критерия с тремя оценками, соответственно три оценки. Значит, мне нужно завести вот эти маленькие, большие и по смыслу вот эти маленькие, большие, они всегда работают. Ну как всегда в таких простых случаях они работают так. Возьмите ваши, так сказать, вот эти по интегральные какие-то выражения и, ну вот, не можете целиком, где тут оно у нас, вот. О, да, не можете целиком её заменить на максимум, минимум. Ну вот в процессе оценок сверху, снизу заменяйте так, чтобы всё-таки получилась оценка, похожая на максимум. Я, например, вот в этом месте на максимум заменил первый множитель и на максимум заменил второй множитель. Ну получился такой явно завышенный максимум, но тем не менее вот сработало. Значит, вот надо как-то в таком же стиле с помощью разумных оценок имеющихся выражений сверху, снизу стройте, пожалуйста, всякие максимумы, минимумы, которые, значит, должны привести вот к такой согласованной системе оце. Строю, значит, итого. Значит, как только мы берём отрезок Дельта какой-нибудь, давайте мы зафиксируем номер координаты одного. Да, и рассмотрим предварительную версию. Значит, от D — это что такое? Это мы берём минимум, ну и компоненты вектора скорости гамма. ИТ штрих модуль компоненты вектора скорости по отрезку де, и это номер координаты, и меняется от одного до. Аналогично заводим максимум бо и от Дельта — это максимум шри. Теперь я из этих максимумов и минимумов завожу уже те величины маленькое, большое, которые пойдут в эту систему оценок. Значит, маленька — это про таго вектора скорости. Ну норма такого вектора составлена из таких компонент. Ну ладно, что там говорить, норма просто напи. Сумма по и А — это маленькая в квадрате, это маленькое у по убедительно ли, а м большое — это то же самое с большими, сумма сюда. M > Дельта квадра е за. Ну вот, ладно. Ээ, всё, подготовка сделана. Значит, что я теперь хочу сделать? Я хочу реализовать схему этой теоремы, хочу проверить вот эти три свойства. Да, э, от заразных Илин. Значит, проверяем неравенство оди. Есть теорема о плотности, обобщённая теорема о плотности. Проверяем 1, 2, 3 из плотности. Ну насчёт 2 ИТ тут всё очевидно. Главное, главное — это с геометрией разобраться, потому что, так сказать, если разобрали геометрию, вырезали нужные формулы, то уже, когда F в формулах, а вы на базе каких-то этих самых F уже задали эти маленькие, большие, с ними это всё в порядке. Ещё раз, маленькие, большие я, значит, строил с ориентиров на то, что я знаю гамма, гамма штрих и всё такое. Да, и поэтому от того, что их построил прямо каким-то таким разумным способом, то вот эти формулы выполняются автоматически. Ну давайте это скам сразу, что 2 ИТ очевидно. Ну на всякий случай проверим, но проверять, значит, ещё раз. Что такое 2 ИТ? Значит, вы хотите взять э вашего кандидата на роль плотности. Ну у меня X — это значит переменная интегрирования, этот, да, вот моё F, которая плотность, это вот это гамма штрих. То есть значит, два — это утверждение о том, что норма вектора гамма штрих в точке Т лежит в диапазоне от м маленького. Давайте я напишу, чему равна эта норма на всякий случай. А норма, извините, я двумя палочками зачал. Значит, ну ещё раз, гамма штрих — это вектор скорости, это вектор, у которого компоненты гамма 1 шт, га 2 шт и так далее. То есть это корень из суммы гамма ишт от Т вот эти штуки в квадрате. Вот что такое шри, да? Ну так он, конечно, лежит в диапазоне от маленького до большого, потому что какие сомнения? Вот каждая м замените на максимум, у вас получится вот эта очка как раз. Дельта. Замените на минимум, получится как раз маленькая дельта. То есть это как бы ерунда. Ну и с третьим тоже ерунда, поскольку мы тут заложили в конструкцию свойство непрерывности, что после дифференцирования всех гамма штрих непрерывно. То, что по-вашему произойдёт, если вы начнёте писать вот такие выражения? Вы зафиксировали какую-то точку, взяли отрезок де, содержащий эту точку, и говорите: "Будем считать вот максимумы каких-то штук непрерывных, а потом будем стягивать этот отрезок, чтобы он в точку Т стремился". Ну прямо по непрерывности у вас как бы три автоматически будет давать то, что нужно. Т автоматически следует из непрерывности, ну из непрерывности вот этих координатных функций, да, всех функций и тшт. На нас основная проверка — это проверка выполнени свойств. Проверяем. Ну вот пере чтоле какие-то информации Т вычисляет мне длину пути. Это какая-то сложная веь непостижимая, только вообще е определил. Да, не понял, как это работает. Как же я её оценю? Ответ: ну вот всё, что я умею считать, это я умею считать. Вот это свойство 4 линейный путь. Я уже из него, из этого свойства вывел следствие, да, что значит? Ну я про длину хорды говорил. Алину Хорд. Я знаю так дест чит, завожу вть зада, как я предупреждаю, что он линейный по формуле. Очевидно, что он линейный. Так, на всякий случай, чтобы больше глаза бросалось, очень просто. Значит, он действует по правилу. Давайте в качестве точки А, чтобы она не мешалась, тут выкинем её вообще, будет это нулевая точка. Не будем писать, это вектор нулевой, возьмём этот вектор, составленный из вот этих самых больших. Я сейчас буду вам доказывать оценку сверху. И аналогично потом докажу оценку снизу. Значит, получается так: наш путь идёт криво, да, а линейный — это путь, который, ну, совершает более быстрое движение. И так сказать, за то же время проходит нам большее расстояние, чем если мы, так сказать, не спеша и криво идём с помощью, значит, Дат нам большую дну пути. Я собственно вот это и хо установить. Я отображение, которое будет действовать из носителя исходного пути гамма, носитель ного пути гамма. Ну и по смыслу то, что происходит, оно не вписывается в форму, оно сжато, оно растяжение. Проверяем, как проверить, как считать расстояние. Да, значит, давайте считать расстояние. Значит, расстояние беру и считаю. Чит, возьму две какие-нибудь точки и буду считать расстояние. Значит, возьму точку, допустим, гамма, допустим, т0, га, Т1 — два момента времени. Вот посчитаю расстояние между ними. Ну расстояние между точками — это разность координат, каждых надо взять в квадрат и всё просуммировать. Точка сумма гам от ИТ от т0 и от1. Вот эту штуку взять в квадрат, просуммировать по от едини и свечь корень. Это просто обычное расстояние. Так, хорошо. Ну пользуемся тем, что наши функции гладкие, они дифференцируемые. Только это пока нужно, сама непри производная пока ещё не сыграла. Я здесь пишу просто ров тере Гра. Тут написана разность каких-то функций гам и в двух точках по теореме грам. Это производная функции га и в средней точке у нас промежутка. Га ИТ штрих в точке Т, но с чертой. Ну формально тут надо бы ещё буковку, значит, для и этой точки я считаю эту среднюю, и она будет, ну давайте её как-нибудь обзор, чтобы она от и зависела. Ноль тут видимо ни при чём, а вот, ну чтобы ещё с стои не коррелировать такой Тау Т производная в средней точке на вечно превращения т0 - Т1. Это как бы вот то, что в скобочках. А это ещё в квадрате. Так, ну это т0 - Т1 можно вообще вынести из этой суммы. Сумма. Теперь сюда. Да, дате не будем понять. Так, это значит получается корень из суммы гаш от T ИТК и на т0 - Т1. Ну и теперь я собственно оценку сделаю. Вот я же завёл. А значит, вот эти мои питы. Да, у нас каждая вот эта координата гам Ита три и от ИТ по модулю меньше того, что мы называли M больш ИТ. Ну там, ну тут не дельта. А вот наш отрезок т0 Т1 большой ИТ. Ну так сказать, т0 Т1. То есть что не нужно. Нет, нужно скобочку поставить пона. Да, так то номы это модуль. Да, модуль функции гаш нормально. Вот замечательно. Ну то есть я могу вместо этого га написать т квара. А когда я считаю сумму ТК, меня получается M большое. То есть это это это M большое для отрезка т0 Т1 на норму т0 - T. А эта штука — это ведь на самом деле это просто расстояние между точками. Расстояние между точками т. Я построил отображение, которое называется большое. Вот это расстояние между точками T, га от, ну, т от гам от, ну, от т0, т от гам от т0 и т от гам. Так значит, ещё раз, тут была теорема Гра. Мы кажется понимаем, где зде. Заменил на бодил эту штуку, а значит, а сейчас подождите, нет, я получается неправильно написал. Сейчас тут у меня дельта, а здесь я1 вял. Ну как бы я про сжати. Да, значит, т0 и Т1 у меня — это точки из промежутка Дельта. И пока вот до этого места всё верно, и даже вот это верно. А вот следующее равенство чуть-чуть отложим на секундочку. Давайте я вот здесь нашу, что это ходит де Т1. Разница была отрезок т0 Т1. Ну по смыслу это он сейчас управлял ситуацией. А сейчас я взял Дета, тому чуть более. Э поле роста больше просто множитель на ваших глазах. Так, заметь бо. А вот это уже есть то, что нам нужно. Путь у нас идёт с вектором, комне которого строятся по отрезку де. И значит, раз расстояние между точками, расстояние между точками как считается? Ну вот, вот у нас как считается этот Вектор поть. Расстояние между взяли чтото не сделал. У меня нет сейчас, сейчас либо тереть, либо гамма убрать. Давайте лучше сору напишу. Т значит, вот ещё раз последняя версия. Значит, гамма с волной отно гамма с волной Т1 и так, ну пра. Что такое га с волной? Расстояние берм разность берм по номе готово пол оценку, которая позволяет сде га меньше либо равно расстояние между соответственными точками на носителе пути гамма сной. То есть это отображение т в ту сторону, как предъявлено, является растяжением. В обратную сторону оно является сжатием. Это значит, что длина ситуации равна длины. Вот в этой ситуации. То есть как бы длина пути, который соответствовал носителю гамма, ф суженного на де. Что такое га? Я взял наш путь, взял отрезок Дета, значит, рассмотрел наш путь на отрезке де, да, смотрел вспомогательный путь дамы с волной на отрезки Дельта и установил, что вот тут работает растяжение. Значит, длина нашего пути не превосходит, а того, что описано тут, длины. Ээ, ну вот это длина нашего линейного пути, и по совместительству вот это вот число, это собственно вот там написано, чему эта длина равна. Значит, это не превосходит длины этого линейного пути. Значит, ну давайте напишу L от линейного пути к кампус волной каковая равна Дельта на длину Дельта. Тут мы рассматривали расстояние между точками, оно уменьшилось, и на уровне носителя это получается сжатие длина до сжатия длина. Ну в смысле длина того пути, который короче, который получался из которого мы растяжение получили линейное. Значит, это маленькая, это большая. Так, что-то я тут букву L выпустил. Да, готово. Я получил оценку сверху. Я вам собирался проверить. Вот это нераст. Ну то есть вот то, что я подчеркнул, я проверил, а есть ещё вторая половинка. Ну вторая половинка, видимо, аналогичная, что Макси мини. Аналогично второе неравенство. Второе неравенство говорит, что малень Дельта на длину Дельта меньше ли рано дли. Ну вот всё, теорема доказана. Мы победив вот эту систему оценок. И то есть весь разговор был о том, что мы какую-то геометрию, так сказать, какие-то неравенства подсчитывали, преодолевали. Мы получили, получили, что сработала заложенная в теорему техника. Ну всё. Значит, значит, ВС доказано. Ну как раз конец лекции осталась проблема понять, почему суст.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий