Лекция 2. Функции нескольких переменных

ruticker 04.03.2025 23:47:53

Текст распознан YouScriptor с канала Магистратура МФТИ

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Лекция 2. Функции нескольких переменных

Данное занятие будет посвящено **функциям нескольких переменных**. Основной вопрос будет касаться предела такой функции и непрерывности. Почему возникает необходимость в исследовании таких объектов? С функциями одной переменной мы уже разобрались, установили много результатов и, в принципе, понимаем, что нужно двигаться дальше. Двигаться дальше можно двумя путями: 1. Пытаться определять классы функций. Мы определяли класс непрерывных функций, класс дифференцируемых функций, непрерывно дифференцируемых функций. Это простейшие классы, с которыми мы встречались. 2. Либо продолжать работать с функциями одной переменной и приводить примеры каких-то других удобных классов. Важно понимать, что желательно, чтобы эти удобные классы все-таки где-то использовались. Либо мы меняем пространство, в котором определяем функцию. Если рассматривать математику как науку сама в себе, то, изучив функции одной переменной, можно продолжить исследование в области функций многих переменных. С другой стороны, если рассматривать прикладные задачи, то чаще всего работа происходит не в одномерном пространстве, а в многомерном. Было бы неплохо установить какие-то свойства функций в этих самых пространствах. Напомним, что происходило с функциями одной переменной. У нас была некая функция \( f \), где \( x \) принадлежит множеству \( \mathbb{R} \). Раз мы говорим о пределе, то как мы его определяли? Мы говорили: пусть функция \( f \) определена в проколотой \( \delta_0 \) окрестности точки \( x_0 \), и тогда для этой точки с нормой мы можем сказать, а именно, мы говорили, что можем определить такой объект, как предел \( f(x) \) при \( x \) стремящемся к \( x_0 \), равен \( a \). Причем \( a \) может быть числом, а может быть символом \( +\infty \), \( -\infty \) или бесконечность без знаков. Если мы возьмем и аналогично попытаемся записать что-то для функции многих переменных, то на самом деле будет меняться только несколько строчек. Чтобы понять, что будет меняться, было бы неплохо расписать, что вообще говоря этот предел означает. У нас было два определения: 1. Первое определение: мы говорили, что для любого \( \epsilon > 0 \) найдется \( \delta > 0 \) такое, что для любого \( x \) из проколотой \( \delta_0 \) окрестности точки \( x_0 \) будет выполнено \( |f(x) - a| < \epsilon \). 2. Если мы рассматриваем \( a \) как число, а не как символ \( +\infty \) или \( -\infty \), то это можно переписать как \( |f(x) - a| < \epsilon \). Если же мы рассматриваем \( a \) как символ \( +\infty \) или \( -\infty \), то оставляем включение как есть. Мы договорились, что \( \epsilon \)-окрестность, скажем, \( +\infty \) — это множество \( (1/\epsilon, +\infty) \) по определению, а \( \epsilon \)-окрестность \( -\infty \) — это \( (-\infty, -1/\epsilon) \). На самом деле, зачем я записал в терминах окрестностей? Первая причина: я захотел считать не только числа, но и символы \( +\infty \), \( -\infty \) или бесконечность без знака. Вторая причина: возможно, когда я буду приходить в какое-то пространство большей размерности, мне будет удобно в терминах окрестностей все описывать. Теперь, когда мы переходим к \( m \)-мерным пространствам, будем говорить, что \( x \) — некое подмножество \( \mathbb{R}^n \), скажем, \( x_0 \) — это элемент \( x \). Тогда что такое будет \( \delta \)-окрестность точки \( x_0 \)? Мы договоримся, что это множество таких \( x \) из \( \mathbb{R}^n \), для которых выполнена следующая запись: расстояние от \( x \) до \( x_0 \) меньше чем \( \delta \). На самом деле, если взять и прочитать словами, то эта окрестность — это множество точек, удаленных от \( x_0 \) меньше чем на \( \delta \). То есть, по сути, это некий шар радиуса \( \delta \) без границ. Теперь надо понять, что такое расстояние между двумя точками. Мы можем записывать \( |x - x_0| \), но нужно понимать, что и \( x \), и \( x_0 \) теперь элементы \( \mathbb{R}^n \), соответственно, этот модуль — это не модуль числа, это модуль вектора. Определим его следующим образом: это будет \( \sqrt{(x_1 - x_{0,1})^2 + (x_2 - x_{0,2})^2 + \ldots + (x_n - x_{0,n})^2} \), где \( x_0 \) описывается компонентами \( x_{0,1}, x_{0,2}, \ldots, x_{0,n} \). Это аналог теоремы Пифагора в двумерном случае. Если нас интересует расстояние между ними, то очевидно, что этот катет — это \( |x_2 - x_{0,2}| \), а этот катет — это \( |x_{0,1} - x_1| \). Гипотенуза по теореме Пифагора просто находится. Следующее свойство: \( \rho(x,y) = \rho(y,x) \) — это очевидно, поскольку \( |a - b| = |b - a| \). Также \( \rho(x,y) \geq 0 \) — это тоже очевидно, поскольку корень квадратный не может быть отрицательным. Если \( \rho(x,y) = 0 \), то это значит, что \( x = y \). Последнее свойство, самое важное и нетривиальное: \( \rho(x,y) \leq \rho(x,z) + \rho(z,y) \) — это неравенство треугольника. Теперь, когда мы определили \( \delta \)-окрестность, можем говорить о функции, заданной на этом множестве. Если функция задана на \( x \), то мы можем говорить, что \( f \) на самом деле задана на какой-то проколотой \( \delta_0 \) окрестности точки \( x_0 \). Если нам выдано выражение \( \lim_{x \to x_0} f(x) = a \), то мы воспринимаем это следующим образом: для любого \( \epsilon > 0 \) найдется \( \delta > 0 \) такое, что для всех \( x \) из проколотой \( \delta \)-окрестности точки \( x_0 \) будет выполнено \( f(x) \in \epsilon \)-окрестности \( a \). Таким образом, мы можем записать, что \( |x - x_0| < \delta \) и \( \delta > 0 \). Теперь, когда мы переходим к многомерным функциям, мы можем использовать аналогичные определения, как и в одномерном случае. Давайте рассмотрим предел функции, заданной в полярных координатах. Пусть \( x = \rho \cos \phi \) и \( y = \rho \sin \phi \). Тогда функция \( f(x, y) \) можно переписать как: \[ f(\rho, \phi) = \frac{\rho^3 \cos^5 \phi \sin^2 \phi}{\rho^2 \cos^2 \phi + 4 \rho^4 \sin^4 \phi} \] Теперь, чтобы исследовать предел при \( \rho \to 0 \), мы можем упростить выражение: \[ f(\rho, \phi) = \frac{\rho \cos^5 \phi \sin^2 \phi}{\cos^2 \phi + 4 \rho^2 \sin^4 \phi} \] При \( \rho \to 0 \) числитель стремится к \( 0 \), а знаменатель стремится к \( \cos^2 \phi \), если \( \cos \phi \neq 0 \). Таким образом, в этом случае предел будет равен: \[ \lim_{\rho \to 0} f(\rho, \phi) = 0 \] Теперь рассмотрим случай, когда \( \cos \phi = 0 \), то есть \( \phi = \frac{\pi}{2} \) или \( \phi = \frac{3\pi}{2} \). В этом случае функция принимает вид: \[ f(\rho, \phi) = \frac{0}{4 \rho^4} = 0 \] Таким образом, в любом случае, когда \( \rho \to 0 \), предел функции равен \( 0 \). Теперь рассмотрим два направления. Если мы зафиксируем угол \( \phi \) и будем двигаться по направлению, например, \( \phi = 0 \) (ось \( x \)), то: \[ f(x, 0) = \frac{x^3 \cdot 1 \cdot 0}{x^2 + 0} = 0 \] Если же мы возьмем направление \( \phi = \frac{\pi}{2} \) (ось \( y \)), то: \[ f(0, y) = \frac{0 \cdot 0 \cdot 1}{0 + 4y^4} = 0 \] Таким образом, предел по всем направлениям равен \( 0 \). Теперь рассмотрим случай, когда мы движемся по кривой, например, \( x = y^2 \). В этом случае: \[ f(y^2, y) = \frac{(y^2)^3 \cdot 1 \cdot y^2}{(y^2)^2 + 4(y^2)^4} = \frac{y^6}{y^4 + 4y^8} = \frac{y^6}{y^4(1 + 4y^4)} = \frac{y^2}{1 + 4y^4} \] При \( y \to 0 \) этот предел также стремится к \( 0 \). Теперь рассмотрим другую кривую, например, \( x = 0 \) и \( y = \frac{1}{n} \). В этом случае: \[ f(0, \frac{1}{n}) = \frac{0}{0 + 4 \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^4} = 0 \] Таким образом, мы видим, что предел по всем направлениям и по кривым также равен \( 0 \). Теперь рассмотрим последовательности. Пусть \( x_n = \frac{1}{n^2} \) и \( y_n = \frac{1}{n} \). Тогда: \[ f(x_n, y_n) = f\left(\frac{1}{n^2}, \frac{1}{n}\right) = \frac{\left(\frac{1}{n^2}\right)^3 \cdot \cos^5 \phi \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2 \cdot \cos^2 \phi + 4 \left(\frac{1}{n}\right)^4} \] При \( n \to \infty \) этот предел также стремится к \( 0 \). Теперь рассмотрим другую последовательность, где \( x_n = 0 \) и \( y_n = \frac{1}{n} \): \[ f(0, y_n) = 0 \] Таким образом, мы видим, что пределы по различным последовательностям также совпадают. В итоге, мы можем заключить, что предел функции \( f(x, y) \) в точке \( (0, 0) \) существует и равен \( 0 \). вот это вот дробь, в принципе, я могу оставить модуль. Примерно понимаю, что будет происходить с ней, могу оценивать не модуль, но неважно. Если оценивал модуль, очевидно, что она больше либо равна 0 и меньше либо равна чем что логарифм меньше чем аргумент логарифм единицы плюс что-то меньше чем что-то в квадрате. Это будет меньше либо рамачандра в квадрате на косинус \( x \) плюс синус в квадрате, делить на народ. Это очевидно равно \( \rho \) косинус \( x \) плюс синус в квадрате. Ну и опять же, у меня вот эта функция бесконечно малая, вот эта функция ограничена, и очевидно, что это бесконечно малое стремится к нулю, прирост имеющийся к нулю, вот 0 тоже стремится к нулю, значит, по теореме двух милиционеров, и вот эта вот функция стремится к нулю, прирост имеющийся к нулю. Итого, вот этот предел существует и равен нулю. Причем с одной стороны, переходят к полярным координатам, как мы обсуждали, по сути, он помогает как нечто, будет то есть как некий инструмент при вычислении предела по направлению. Но в данном случае это кафе не фиксировал, то и предел по направлению, по сути, не наблюдал ни не рассматривал его. Но я очень удачно для себя преобразовал функцию, то есть изначально я не мог понять, даже вот здесь вот, какие мне оценки, какие неравенства стоит применять. Когда я перешел к такому виду, стало более-менее понятно, как все устроено. По поводу второго способа, он по сути будет означать то же самое. Я сделаю замену \( \rho \cos x + \sin x = z \) и рассмотрю функцию \( \log(1 + z) \). Я понимаю, что \( z \) стремится к нулю, и меня интересует предел прироста, мы все к нулю, значит, и вот эта вот вещь будет стремиться к нулю. То есть, когда я перейду к \( z \), я понимаю, что вот \( z \), к которому перешел, тоже стремится к нулю. Что тогда с логарифмом могу сделать? Я могу его расписать по формуле Тейлора как \( z + o(z) \). То есть, по сути, когда я буду логарифм в квадрате переписывать, я получу \( z^2 + o(z^2) \). Соответственно, рассматривая логарифм в квадрате от \( \frac{1 + \cos x + \sin x}{\rho} \), я получу опять же \( \rho^2 \cdot (1 + \text{некоторые разности}) \cdot \sin^2 x + \cos^2 x \) делить на \( \rho \). Поделив, я нору сокращу, и все это дело стремится к нулю, прирост имеющийся к нулю. Вот есть как второй способ. Просто вспомнить, что когда у нас были пределы от одной переменной, мы пользовались очень часто формулой Тейлора, и в принципе здесь мы тоже к ней можем переходить, если как-то удачно сможем заменить переменную. Ну вот в данном случае получилось, соответственно, вот она замена была. Да, у нас \( \rho \cos x + \sin x = z \). Ну и за счет этой замены мы смогли логарифм переписать в более удобной для нас форме. То есть эта более удобная форма позволит избавиться от знаменателя. То есть даже перейдя вот к какому-то одному удобному виду, начали мы с того, что у нас здесь некая неопределенность \( 0/0 \), не понятно, что с ней делать. Даже перейдя к удобному виду, у нас неопределенность \( 0/0 \) осталась. Ну и чаще всего в случае предела одной переменной мы все-таки избавлялись от неопределенности вида \( 0/0 \) при помощи как раз-таки формулы Тейлора. Собственно, попытались и здесь ей воспользоваться, ну и удалось. Отлично. Ведем теперь вот какое понятие. Пусть у нас есть функция \( f(x, y) \), опять же, где-то она определена в какой-то, давайте считать, \( \delta_0 \) окрестности точки \( (x_0, y_0) \), проколотой \( \delta_0 \) окрестности. И будем рассматривать вот какое понятие: сперва \( y \) стремится к \( y_0 \), и потом \( x \) устремляется к \( x_0 \), либо сперва \( x \) стремится к \( x_0 \), а потом \( y \) стремится к \( y_0 \). По сути, нечто похожее мы с вами уже обсуждали, когда я говорил, что будет, если одну переменную в каком-то смысле зафиксирую, а вторую стремлю к тому, что мне нужно. Мы получали, что, несмотря на то, что у нас предел функции не существовал, если мы фиксируем какую-то одну переменную, а другой устремляем в нужной точке, вот там 0 у нас был до задачи, мы получаем 0. То есть вероятно, эти объекты все-таки не описывают нам то, что нужно. Ну, сами по себе могут быть интересными, они называются повторные пределы. Давайте рассмотрим вообще, как устроены повторные пределы. У нас есть функция \( f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \), и мне интересно, как ведет себя эта функция при стремлении к нулю. Когда я говорю, как она себя ведет, я, по сути, должен естественно предел. То есть других каких-то вещей мы пока с функциями делать не можем. Прежде всего, я почитаю что-нибудь простое. Да, я повторный предел, один из повторных пределов возьму, скажу, пусть \( x \) стремится к нулю, \( y \) стремится к нулю, и меня интересует вот такая вот функция. Прежде всего, должен рассмотреть вот такой вот объект. Потом я \( x \) куда-то устремляюсь. Изначально у меня \( x \) какая-то переменная, с которой общей что хочу, то и делаю, и можно считать, что некая фиксированная переменная при этом не равна нулю, поскольку функция так определена во всех точках, кроме \( (0, 0) \). Этого я получаю предел при \( x \) стремящемся к 0. В числителе у меня стремится к \( x^2 \), в знаменателе меня стремится тоже как \( y^2 \). При \( x \) стремящемся к 0, эта вещь и стремится к \( x^2 \). Итак, \( \frac{x^2}{x^2} \) не равен нулю, у меня частная стремится к единице. Ну и тогда этот предел от единицы при \( x \) стремящемся к 0 равен единице. Хорошо, что будет, если я возьму повторный предел, но вот сперва по \( x \), а потом по \( y \)? Опять же, прежде всего, мне нужно рассмотреть такое объекты. В общем, вычислить этот предел при \( x \) стремящемся к 0. Числитель стремится к \( -y^2 \), знаменатель стремится к \( y^2 \). И в силу того, что опять же мы знаем, что \( y \) не равен нулю, у нас \( -y^2 \) делить на \( y^2 \) будет равно \( -1 \). Этого я получаю предел при \( x \) стремящемся к 0, вот \( -1 \). Было очевидно, что это будет равно \( -1 \). Вот и того, что мы получаем, что у нас оба повторных предела на самом деле существуют, но они не совпадают. То есть вот они так устроены, что в каком-то случае не могут даже не совпадать. Теперь вопрос: а что будет с пределом по совокупности переменных? То есть с пределом этой функции. Просто теперь меня интересует предел. Вот что будет интересно сделать. Давайте перейдем к полярным координатам. Опять так с ходу не понятно, какие мне удобно может быть последовательности брать. То есть \( x \) я хочу взять \( \rho \cos \phi \), и \( y = \rho \sin \phi \). И опять же, этот переход к полярным координатам побуждается тем, что за намеки меня хорошо устроены. Возможно, вот за счет этого хорошо устроенного, я получу приятные как предел тогда будет устроен. Будет предел \( \frac{\rho^2 \cos^2 \phi - \rho^2 \sin^2 \phi}{\rho^2} \). Я понимаю, что квадраты сокращаются, и предел равен на самом деле \( \cos(2\phi) \). Ну то есть, если вспомнить тригонометрические функции и формулу для них, такой синус квадрат минус синус квадрат есть косинус \( 2\phi \). Что это означает? Так как у меня угол любой, какое захочу, то и предел будет зависеть на самом деле от угла. Ну раз он зависит от угла и не равен одному и тому же числу, такой предел просто не существует. На самом деле это означало, что я мог бы взять просто два произвольных направления. Почти наверно там косинусы, скорее всего, были бы различные, если как-то совсем только неудачно не попал бы в одно направление. Почти наверно предела бы либо различные. Ну вот я получил бы, что предел не существует. Например, можно взять одну последовательность \( x_n = \frac{1}{n} \), \( y_n = \frac{1}{n} \). Эта последовательность, гей на все замечательно, как труда \( f(x, y) \) он ведет себя, но она равна просто напросто нулю. В числителе за 0, это знать или нет. И вторую последовательность можно взять, пусть это будет \( x_n = \frac{2}{n} \), \( y_n = \frac{1}{n} \). Как себя тогда ведет функция по этим последовательностям? В числителе у меня будет \( 4 \) делить на \( x^2 - 1 \) делить на \( n^2 \). Знать или будет \( 4 \) делить на \( x^2 + 1 \). Понятно дело, что вот этот ноль стремится к нулю, принц стремящийся к бесконечности, три пятых стремятся к температуре на стремящийся к бесконечности. То есть вот и построил для последующей гены. В принципе, на самом деле можно было заканчивать здесь, но если вдруг мы хотели бы без перехода к полярным координатам это делать, то пожалуйста, вот одна пара последовательностей внутрь, одна последовательность гей на все замечательно, как труда \( f(x, y) \) он ведет себя, но она равна просто напросто нулю. Фото же числитель за 0, это знать или нет. И вторую последовательность можно взять, пусть это будет \( x_n = 2/n \), \( y_n = 1/n \). Как себя тогда ведет функция по этим последовательностям? В числителе у меня будет \( 4 \) делить на \( x^2 - 1 \) делить на \( n^2 \). Знать или будет \( 4 \) делить на \( x^2 + 1 \). Понятно дело, что вот этот ноль стремится к нулю, принц стремящийся к бесконечности, три пятых стремятся к температуре на стремящийся к бесконечности. То есть опять же получается, что мы для этой функции поняли, что повторные пределы у неё существовали, правда при этом отличались друг от друга, а просто предел не существовал. Вывод из этого какой? Что существование повторных пределов не гарантирует нам существование предела по совокупности переменных. Рассмотрим теперь вот какую функцию \( \frac{x y}{x^2 + y^2} \). И опять же, меня будет интересовать повторные пределы и предел по совокупности, но при \( x, y \) стремящемся к \( 0 \). Опять же, функция назад на везде, кроме точки \( (0, 0) \). В принципе, если бы нам нужно было, мы могли бы это определить в точке \( (0, 0) \), можно скачать, но нас интересует она в проколотой окрестности. Функция определена замечательно. Как тогда себе ведет каждый из повторных пределов? Если я рассматриваю что-то в таком духе, я понимаю, что числитель стремится к нулю, знаменатель стремится к \( 0 \). Для \( y \) меня не равен нулю, поскольку функцию не в точке \( (0, 0) \) определял, и тогда я получаю предел при \( x \) стремящемся к нулю от \( 0 \), это равно \( 0 \). Теперь, что будет происходить, если я другой повторный предел смотрю? Но всего-то, что картинка симметрично, ведь если \( x \) и \( y \) поменяем местами, части экзамене на \( y \) и \( y \) на \( x \) ничего не поменяется. Значит, по сути, вот это вот повторный предел, делает повторный предел не об одном и том же. Значит, результат будет ноль. То есть теперь я получаю, что повторный предел существует, уже совпадают. В предыдущем примере, что мне не нравилось, повторные пределы существовали, но не совпадали. Может быть, из-за этого вот появлялась какая-то гадость. А что будет, если мы их сделаем совпадающими? Ну вот теперь они совпадают, со замечательно. И интересует теперь меня предел по совокупности. Опять же, просто так глядя на функцию сложно придумать какую-то последнюю, но может не очень сложно. Я понимаю, что если я перейду по полярным координатам, в числителе и знаменателе проще появится \( \rho^2 \). В числителе появится \( \rho^2 \cos \phi \sin \phi \), как в предыдущем случае. У меня \( \rho^2 \) сократятся, и вся эта дробь будет стремиться к \( \sin \phi \cos \phi \). То есть опять же будет зависеть от направления результата. Ну а это означает, что я могу от балды выбрать две последовательности, почти наверно получу удобный хороший для меня результат. Пусть одна последовательность \( x_n = 1/n \), \( y_n = 1/n \). Буду то есть стандартная, вот её уже не первый раз выбираю, и для неё я получу \( f(x, y) \) и есть, но в числителе будет \( 1 \) делить на \( r^2 \), а в знаменателе будет \( 1 \) делить на \( x^2 + 1 \) делить на \( x^2 \). Получается \( 1/2 \). А вторую последовательность выберу, например, \( 0 \) и тот же самый длинный. Всё бы развито у меня последовательности гена. В первом случае функция по этим последовательностям стремится к \( 1/2 \), во втором случае очевидно, что функция будет по любому значению из этой последовательности равна нулю и соответственно стремится к \( 0 \). Принц стремящийся к бесконечности, то есть опять же получается, что мы для этой функции поняли, что повторные пределы у неё существовали, правда при этом отличались друг от друга, а просто предел не существовал. То есть что мы для этой функции поняли, что повторные пределы у неё существовали, правда при этом отличались друг от друга, а просто предел не существовал. Вывод из этого какой? Что существование повторных пределов не гарантирует нам существование предела по совокупности переменных. Рассмотрим теперь вот какую функцию \( f(x, y) = x \sin\left(\frac{1}{y}\right) \). Понятное дело, что если я рассмотрю предел \( f(x, y) \) при \( x, y \) стремящемся к \( (0, 0) \), то в принципе каждое слагаемое справа по отдельности могу рассмотреть. Что мне задает слагаемое \( x \sin\left(\frac{1}{y}\right) \)? Куда бы \( y \) не стремился, вот эта последовательность всегда будет ограничена. То есть она может быть нисходящей, сама ограничена в любом случае, то что синус ограничен. Вот эта последовательность, но в силу того, что и опару переменных устремляя к нулю, она бесконечно малая. Но если я рассмотрю как последовательность \( g_n \), если я смотрю как функцию, но бесконечно малых функций, то и соответственно бесконечно малая функция, ограниченная функция, понятное дело, что тогда произведениях вы тоже бесконечно малые функции. Во втором слагаемом аналогично, поскольку мысли \( x \) и \( y \) поменяем местами, да нечего особо не поменяется. Но и тогда свободу бесконечно малую, 2 бесконечно малых будет тоже бесконечно малые. Этого я получаю 0. Получается, что предел по совокупности переменных у меня существует, равен нулю, с ним все хорошо. Что будет, если я захочу рассмотреть какой-то повторный предел? Причем, опять же, как в прошлом примере, у нас функция симметрично, то есть если \( x \) и \( y \) заменено, ничего не поменяется. То есть \( f(x, y) = f(y, x) \), поэтому мне достаточно рассмотреть только один повторный предел. Что для него будет верно? И для второго повторного предела. А что для него верно? Получается, изначально я фиксирую некий \( x \) и вычисляю вот этот предел. При фиксированном \( x \) я понимаю, что \( y \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) будет стремиться к нулю. Но \( x \) фиксированные, \( y \) стремится к нулю, то есть со стороны слагаемом проблем не возникнет. Что будет происходить с первым слагаемым? 1 слогам \( x \sin\left(\frac{1}{y}\right) \). Тут я понимаю, что \( x \) фиксирую, поэтому мне не важно, как ведет себя в этот множитель. То есть вообще все никак не ведет, достаточно осмотритесь ему с \( \sin\left(\frac{1}{y}\right) \). Но синус \( \frac{1}{y} \) ни к чему не сходится. То есть предела нет по той причине, что я могу убрать одну последовательность \( g_n \), если \( y_n = \frac{1}{n} \). Давайте \( y_1 \) и первое, тогда \( \sin\left(\frac{1}{y_1}\right) \) и 1 будут всегда равны нулю, но он стремится к 0. При \( n \) стремишься к бесконечности, а могу выбрать вторую последовательность \( g_n = \frac{1}{2} + 2\pi \). А синус по этой второй последовательности \( g_n \) будет то же самое, так что \( \sin\left(\frac{1}{y_1}\right) \) будет равен 1. Понятное дело, что стремится к единице. Вариантами бесконечности получается, что я подобрал две последовательности \( g_n \) для одной функции, сводится к нулю по этой последовательности, для второй последователь функции по \( g_n \) сходится к единице. Значит, предела не существует. Но тогда получается, что и у суммы у меня предел не будет существовать. Вот это означает, что вот этот предел не существует. Ну и соответственно, от него еще брать какое-то предел я тоже не могу. Чему я пришел? Повторные пределы не существуют, предел по совокупности у меня существует, вот он равен нулю. Мы довольно быстро поняли, у нас каждое слагаемое устроено как произведение бесконечно малых функций на ограниченные. Ну и это произведение будет бесконечно малые функции. При этом повторные пределы, неважно, как я беру сперва по \( y \), потом по \( x \), как я рассмотрел, как раз писал, или наоборот, с первого брал по \( x \), а потом по \( y \), у меня функция симметрично устроена. Если \( x \) и меняем местами, чего не меняется, то есть 1 эт от не существует, а второй повторный тоже не существует. Какой вывод мы отсюда получаем? Что если вдруг предел по совокупности существует, то из этого ни в коем случае нельзя делать, что в общем случае повторные пределы будут вообще существовать и равны чему-то там. Уже сам они могут вообще в принципе не существовать. То есть мы поняли, что в принципе это какие-то объекты, которые вообще никоим образом друг с другом не взаимосвязаны. Несмотря на то, что предел по направлению был вроде как другим объектам, он отличался от просто предела. Но и существование предела наследовала существование по любому направлению. Здесь же вот и существование предела, существование повторных пределов каких-то не в коем случае не следует. Ну и постепенно мы переходим к понятию непрерывности. То есть сейчас интересует такое понятие, как непрерывность функции. Причем в принципе можем даже рассматривать не функцию, а вектор-функции, то есть нечто из \( \mathbb{R}^n \) в \( \mathbb{R}^n \). Скажем, опять же, откуда возникает эта идея? Но мы ведь можем обобщать не только область определения как-то изменяя, но и область значений изменяя. Ну и вот мы можем изменить эту область значений, рассмотрев это же как некое мерное пространство. Что у нас здесь интересует? Пусть опять же определена в некой \( \delta_0 \) окрестности точке \( x_0 \). Причем здесь я её прокол, но эту окрестность прокалывать не буду, поскольку меня интересует непрерывность функции в точке \( x_0 \). И я, соответственно, буду \( x \) в одном случае устремлять к \( x_0 \), в другом случае вроде как сравнивать \( f(x_0) \). Поэтому проколоть окрестность была бы как-то бессмысленно. Первое, что я сделал, я скажу, что меня интересует понятие непрерывности функции в точке по множеству. Пусть \( x_0 \) изолированная. Множество \( x \) то есть тут важно, что я не говорю, что функция непрерывна в этой точке. Я говорю, что функция непрерывна в этой точке в том случае, если мы рассматриваем его как функцию, определенную на каком-то множестве. То есть тут привязка не только к точке, но и к множеству. И пункт б: \( x_0 \) предельная. И предел \( f(x) \) при \( x \) стремящемся к \( x_0 \) равен \( f(x_0) \). Спасайте, что это означает в одномерном случае. В принципе, она достаточно рассмотреть, если я рассматривал множество отрезок и некая изолированная. То я буду говорить, что на функции, скажем, задом, как функцию Дирихле, то есть она будет в этой точке на самом деле непрерывного. Как только эту точку возьмем, какой-то окрестности, эта функция перестанет быть непрерывной. Вот то есть, как только я рассмотрю множество отрезок и \( x_0 \). То в этой точке функция всегда будет непрерывной. Если я только рассмотрю какую-то окрестность этой точки, то все дальше будет зависеть от функции. Возможно, функция уже не будет непрерывной в этой точке. То есть тут важная привязка по множеству. И соответственно, если бы мне захотелось взять, пусть множество будет такое же, не важно, если бы мне захотелось взять вот эту точку, то я понимаю, что вроде если я хочу определить предел, то я должен быть в окрестности двух точек. То есть раздувать её влево и вправо, но влево и здесь раздувать не могут, то что там функция может быть мне вообще не определено. То есть множество так рассматривает, что меня интересует исключительно этот отрезок. Я тогда должен рассматривать правосторонний предел. Так и здесь. Предельно, соответственно, если я беру какую-то последовательность, лучше даже, наверно, вот так вот рассматривать последовательность \( x_n \), которая сходится как свой моих со мной и \( x \). Все раз на пределе. Значит, найдется какая-то последовательность из \( x \), которая сходится к этому \( x_0 \). Вот по сути в случае одномерного от означало для вот этой точки предел справа, для этой точки предел слева. Ну а когда мы находимся в \( n \)-мерном пространстве, нет права, левак. Мы понимаем, у нас есть пределы по направлению, но опять же не важно, по направлениям, и не пробовать по направлению движемся. То есть будь это, скажем, множество \( x \), некие квадратик, и заинтересуем нас вот эта \( x_0 \). Мы вот эти \( x_n \) и могли брать как что-то на этой прямой, что-то на такой кривой, что-то на такой клевое, что-то вот по такой прямо. Неважно, как бы мы, главное, что по множеству, как бы мы открытой точки не стремились, получаем от \( x_0 \). Это обозначало, что \( x_0 \) опять же, то есть такая \( x_0 \), что функция непрерывна в ней по множеству. Но стоит понимать, что как только мы раздаем нашего \( x \) и определим на раздутие, функция может так случиться, что \( x_0 \) станет точкой разрыва. То есть они такой точкой, которой функция уже не будет непрерывной. Поэтому тут в очень важное довесок непрерывно по множеству. Ну и второе определение, которое мне будет интересно, на самом деле я чаще с ним буду работать, она более удобна. Пусть \( x_0 \) это внутренняя \( x \). Наш \( 100x \), то есть опять же функция определена на множестве \( x \), но вектор-функции на самом деле на определенном \( htx \), все это переводит в пространство \( \mathbb{R}^m \) и \( x_0 \) внутренняя. Тогда я буду говорить, что \( f(x) \) непрерывно в \( x_0 \), если предел \( f(x) \) при \( x \) стремящемся к \( x_0 \) равен \( f(x_0) \). Но на самом деле все как было в одномерном случае, ничего не поменялось. Этот объект мы уже определили, мы понимаем, как он работает. Это некий вектор, который есть первая функция \( t(x_0) \) и так далее, \( m \) функций от \( x_0 \). Здесь тоже мы получим некий вектор. Вот, но и они совпадают. Ну вроде опять же все разумно, все как было в случае с одной переменной. При этом, но вот этот предел мы можем расписывать либо по Коши, либо по Гейне. Ну, силу того, что мы его определили, мы уже можем говорить, что-то мы с этим объектом работаем. Если вдруг нас он интересует как нечто более понятно и что ли, то мы можем говорить, что дадим определение по Коши. Дадим определение по Гейне. Опять же, они эквивалентны, поэтому можем использовать любой из них. Вот, то есть по Коши это будет означать, что для любого \( \epsilon > 0 \) найдется \( \delta > 0 \) до \( \delta_0 \). Но нужно помнить, что заведомо знаем, что функция приглядатель окресности, а как она себя ведет шире, не совсем понятно. Такое, что для всех \( x \), удовлетворяющих условию \( |x - x_0| < \delta \), за этим, что здесь не пишу, \( |x - x_0| > 0 \). То есть я позволяю \( x \) быть равным \( x_0 \). Я функцию теперь в точке \( x_0 \) определил, поэтому могу с ней работать с этой точкой. Но и понятно дело, что если \( x = x_0 \), то \( 0 < \delta \) — это всегда верно. Для этого выполняют для такого неравенства, выполняется таких часов \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \). И стоит понимать, что \( f(x) \) у нас вектор-функция, поэтому вот эта разность, то есть разность векторов, то есть вот этот модуль — это не модуль числа, как было всегда до этого, это модуль вектора. Собственно, как и от модуль, это модуль вектора \( x \) у нас из пространства \( \mathbb{R}^n \ на самом деле, но как и \( x_0 \), \( f(x) \) из пространства \( \mathbb{R}^m \), но как \( f(x_0) \). То есть вот эти модули есть модули векторов, ну или длинные векторы. Гиены \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \) при \( x \) стремящемся к бесконечности. То есть, по сути, дальше мы можем использовать любое из этих определений, если вдруг нам нужно предел как-то расписать, но опять же в зависимости от ситуации бывает удобно одно или другое определение. Причем смотрите, когда мы задавали непрерывность по множеству, давайте считать, что без пункта \( 1 \) у нас еще нет, поскольку как только появляется этот пункт, то \( x_0 \) нельзя считать, если \( x_0 \) будет явно внутренним. Мы не будем попадать ни в случае изолированной точки, ни в случае предельной точки. Вот именно такого вида, как я здесь изображал. То есть поняла, что вот эта точка тоже предельная, в том числе является и внутренней, поэтому для нее мы дадим определение \( 2 \). Вот эта вещь возникает в случае \( 2 \) при определении. Под пунктом \( 2 \) мы просто говорим, что \( x_0 \) — это некая точка, и функция определена на \( X \) и переводит множество \( X \) в \( \mathbb{R}^m \). Тогда мы будем называть ее непрерывной в точке \( x_0 \), если выполняется одно из этих двух условий. Что нас теперь интересует? Понятное дело, что в случае, когда \( x_0 \) будет внутренней, у меня определение непрерывности по множеству эквивалентно определению просто непрерывности. По той причине, что когда рассматриваем непрерывность по множеству, я ведь на самом деле уже некую окрестность точки \( x_0 \) могу выбирать. Раз я выбираю окрестность точки \( x_0 \), потом я выбираю произвольную последовательность \( x_n \), и того мне находится всегда для \( x_0 \) некая окрестность, в которой функция себя ведет как-то хорошо. Это по сути означает непрерывность. Понятное дело, что из непрерывности следует непрерывность по множеству в любом случае. Вот именно поэтому я сейчас и говорил, что в случае \( 1 \), когда мы непрерывность по множеству рассматриваем, все-таки мы будем выбирать \( x_0 \) не из внутренности \( X \), поскольку получается, что внутренности \( X \) мы задали бы два абсолютно эквивалентных определения. Теперь, если у нас оказывается, что некая вектор-функция \( f(x) \) устроена как \( f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x) \) непрерывно в точке \( x_0 \), то из этого будет следовать, что \( f(x) \) тоже непрерывно в точке \( x_0 \). Откуда вообще это утверждение берется? Смотрите, в непрерывности мне интересовало поведение функции такое, чтобы выполнялось вот это неравенство. Например, если я рассматриваю определение по Коши, то не очень удобно будет рассматривать, что \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \). Напомним, что вот этот модуль — это модуль вектора, то есть расстояние между \( f(x) \) и \( f(x_0) \) в мерном пространстве. Значит, это будет \( \sqrt{(f_1(x) - f_1(x_0))^2 + (f_2(x) - f_2(x_0))^2 + \ldots + (f_m(x) - f_m(x_0))^2} \). Я хотел, чтобы он был меньше чем \( \epsilon \). Очевидно, что верно вот какое утверждение: этот самый модуль больше либо равен чем \( |f(x) - f(x_0)| \) по той причине, что доказывать очень легко от противного. Пусть это неравенство неверно, тогда верное неравенство в другую сторону. Возвожу в квадрат и левую, и правую часть. Здесь встречается \( |f(x)|^2 \), здесь встречается \( |f(x_0)|^2 \), и того здесь получается \( 0 \), а здесь получается сумма квадратов. Но сумма квадратов, она как минимум \( 0 \), и получается \( 0 > 0 \), что неверно. То есть вот мы получаем такое неравенство. Соответственно, если мы знаем, что функция непрерывна, то здесь мы получаем меньше чем \( \epsilon \). Это вот такая цепочка неравенств: модуль как модуль числа меньше чем модуль вектора, который меньше чем \( \epsilon \). Ну, соответственно, если мы захотим переписать определение по Коши, мы скажем: для любого \( \epsilon > 0 \) найдется \( \delta > 0 \) такое, что для любого \( x \), удовлетворяющего условию \( |x - x_0| < \delta \), выполняется \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \). А по сути это будет означать, что \( f \) в точке \( x_0 \) непрерывно. Вот, то есть это важный момент, важные импликации. Что еще, если окажется, что \( f(x_1), f(x_2), \ldots, f(x_n) \) непрерывно в точке \( x_0 \), то это на самом деле будет эквивалентно тому, что \( f \) опять же тех же переменных непрерывно по каждому \( x_i \). Но опять же так только регулярные. Разве я написал это не очень хорошо? Опять же, я понимаю, что, пользуясь тем же самым неравенством, и отсюда сюда перехожу успешно. Теперь что будет, если мы рассмотрим какую-то функцию, вот какого вида, опять же функции двух переменных, поскольку с ней проще работать. Пусть это будет \( f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^4} \). Что похоже, мы уже рассматривали. Здесь \( (0, 0) \) — это для пары \( (0, 0) \). Я понимаю, что если я фиксирую какой-то \( y \) и рассматриваю функцию \( f(x, y_0) \), то в точке \( (0, y_0) \) функция будет непрерывна. То есть если \( y_0 \) на самом деле меня два случая стоит посмотреть: случай \( A \) — я рассматриваю \( f(0, y_0) \), тогда это просто тождественный \( 0 \); и случай \( B \) — \( y_0 \neq 0 \). То есть тогда у меня \( f(x, y_0) \) выглядит вот таким образом: \( \frac{x y_0^2}{x^2 + y_0^4} \). Но при \( x^2 + y_0^4 = 0 \) при \( x = 0 \) и \( y_0 = 0 \) это равно нулю. Но я понимаю, что в силу того, что \( y_0 \neq 0 \), второй случай просто напросто не реализуется, поэтому я его удалю. На самом деле всегда будут реализовываться исключительно вот этот первый случай. Ну что произойдет, если \( x \) устремит к нулю? Очевидно, что числитель стремится к нулю, а знаменатель стремится как \( y_0^4 \), который не равен нулю. Значит, и вся дробь стремится к нулю. А что такое ноль? Это на самом деле \( f(0, y_0) \). То есть вот эта функция в точке \( (0, y_0) \) она непрерывна. Аналогично мы можем рассмотреть функцию \( f(0, y) \) и опять же для него рассмотреть два случая. В первом случае у нас \( x_0 = 0 \), тогда мы получаем \( 0 \) в любом случае, то есть эта функция, когда будет тождественно \( 0 \), очевидно, что она непрерывна в любой точке, в том числе в точке \( (0, 0) \). Если же мы говорим, что \( x_0 \neq 0 \), тогда эта функция задается вот таким вот образом: \( f(x_0, y) = \frac{x_0^2 y^2}{x_0^2 + y^4} \). При стремлении \( y \) к \( 0 \) числитель стремится к \( 0 \) и знаменатель стремится к \( x_0^2 \). Ну и в итоге вот эта функция при любом \( x_0 \) стремится к \( 0 \) при \( y \) стремящемся к \( 0 \). То есть она получается, да, и этот ноль есть не что иное как \( f(x_0, 0) \). Получается, что на самом деле вот эта функция она непрерывна по каждой компоненте. То есть если фиксировать нас компоненты, рассматриваю \( f \) второй компонент и как функции одной переменной, то она непрерывна. Замечательно, но как мы уже обсуждали, сама вот эта функция непрерывной не является в точке \( (0, 0) \), поскольку, как мы понимаем, предел \( f(x, y) \) при \( (x, y) \) стремящемся к \( (0, 0) \) не существует. Но мы рассматривали уже эту задачу, поэтому верим или вспоминаем, что был такой предел, не существует. Понятно, что в обратную сторону эта импликация не всегда верна. Вот, пожалуйста, контрпример, который показывает, что обратную сторону неверно. Пытаясь понять, а что если мы здесь говорим, что \( f_i(x) \) непрерывно в \( x_0 \) для каждого \( i \), что можем сказать, что на самом деле из этого будет следовать то, что и \( f(x) \) непрерывно. Если мы рассматриваем стрелочку вправо, влево, продам, мы понимаем, что у нас по сути будет находиться для каждого \( i \) для каждой функции будут находиться какие-то окрестности точки \( x_0 \). То есть в одном случае окрестность \( \delta_1 \), а в другом случае \( \delta \). Это кое-что для любого \( x \) из \( \delta \)-окрестности точки \( x_0 \) будет выполнено \( |f_i(x) - f_i(x_0)| < \epsilon \). Я говорю, что заранее мне интересует \( \epsilon \), но так захотел для каждого \( \epsilon \) у меня найдется некая окрестность точки \( x_0 \) такая, что для этой окрестности будет выполнено вот это неравенство. Единственное, хочу понять, даже \( \epsilon \) делить на \( \sqrt{m} \) мне будет интересен, скажем так. Я понимаю, что я в роли \( \delta \) выберу максимум по всем \( \delta_i \). Так как у меня их конечное число, то я действительно такой максимум соорудить смогу. В силу того, что \( \delta_i \) каждый больше нуля, то этот максимум будет тоже больше нуля. Что я тогда скажу? Что для любого \( \epsilon > 0 \) найдется \( \delta \) такое, что для всех \( x \) из \( \delta \)-окрестности точки \( x_0 \) выполняется на самом деле, что выполняется \( |f_i(x) - f_i(x_0)| < \frac{\epsilon}{\sqrt{m}} \). Все это дело меньше чем \( \sqrt{m} \cdot \frac{\epsilon}{\sqrt{m}} = \epsilon \). То есть по сути вот здесь в более расширенном каком-то формате записано определение Коши непрерывности в точке \( x_0 \). Вот он только вместо того, чтобы писать \( |x - x_0| < \delta \), я написала просто \( x \in \delta \)-окрестности точки \( x_0 \), что по сути одно и то же. Но в силу того, как мы вводили \( \delta \)-окрестность точки \( x_0 \), вот так что получается, что вот эти два утверждения на самом деле эквивалентны. Какие по этому поводу можно рассмотреть задачи? Задачи, например, такого вида: рассмотрим функцию \[ f(x, y) = \frac{x^3 + y^3}{x + y}, \quad \text{если } x + y \neq 0, \quad \text{и } 3, \quad \text{если } x + y = 0. \] Нам нужно понять, в каких точках функция непрерывна. Смотрите, если я выбираю пары \( (x, y) \) такие, что \( x + y \neq 0 \), то есть что на самом деле происходит? Есть некая прямая \( x + y = 0 \). Я понимаю, что по этой прямой функция задана как \( 3 \), вне этой прямой она задается вот таким образом. Соответственно, я выбираю какую-то точку не на этой прямой. Понятное дело, что у меня найдется окрестность такая, что вся эта окрестность целиком живет вот здесь вот. Ну и соответственно, функция будет определена все время также в этой окрестности. Из по сути дальше я рассматриваю вот эту вещь как композицию непрерывных функций. Так как я сюда никогда не попадаю на ноль, никогда не делю, у меня композиции непрерывных функций. Соответственно, вот в такой точке \( f(x, y) \) непрерывно как композиция непрерывных функций. Теперь, что будет, если мы выбираем точку \( (x_0, y_0) \) такую, что \( x_0 + y_0 = 0 \)? Нас тогда интересует, как себя ведет предел функции \( f(x, y) \) при \( (x, y) \) стремящимся к \( (x_0, y_0) \). Понятное дело, что если я буду находиться на этой прямой, я буду получать \( 3 \). Мне же на самом деле интересует, а что будет, если я буду не находиться на этой прямой? Я считаю, что я сейчас так стремлюсь, что вот на эту прямую никогда не попадаю. Понятное дело, что здесь я тогда сумму кубов расписываю по формуле \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \) и в итоге получаю вот какой предел. Если вдруг \( (x_0, y_0) \) непрерывно, то по идее вот этот предел должен быть равен \( f(x_0, y_0) \), то есть на самом деле равен \( 3 \). Осталось понять, при каких парах \( (x, y) \) вот эта вещь стремится к \( 3 \). Но тут стоит отметить, что мы \( (x_0, y_0) \) очень хорошо подобрали, то есть такие точки, которые связаны вот таким соотношением. Понятное дело, что каждый из этих функций непрерывно, у каждой из этих функций пределы существуют. И тогда уж после того, как я сократил этот \( x + y \), получу \( x_0^2 - x_0 y_0 + y_0^2 \). И осталось вспомнить, что в силу того условия, как я играл \( x_0 + y_0 = 0 \), поэтому эта сумма есть не что иное, как \( x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 = 3x_0^2 \). Если я хочу, чтобы это все было равно \( 3 \), то есть я хочу найти точки, в которых функция действительно непрерывна, \( x_0 \) тогда должен быть равен \( \pm 1 \). Соответственно, я получаю точки \( (1, -1) \) и \( (-1, 1) \). Во всех же остальных точках я понимаю, что предел вот такой вот функции, но в точках вот такого типа будет равен \( 3x_0^2 \) и будет не равно \( 3 \). И того, значит, соответственно, функция непрерывна в них. Это вопрос, в каких функциях непрерывно во всех точках вот такого типа и в точке \( (1, -1) \) и в точке \( (-1, 1) \). Вот у вас два остальных точках происходит разрыв. В принципе, если нужно было бы охарактеризовать, мы могли бы понимать и такой разрыв, как разрыв первого рода, второго рода или устраним. То есть точка устранимого разрыва, но так как у нас в самой точке значения не совпадает с пределом, а предел по любому направлению один и тот же, вот он что-то в духе \( 3x_0^2 \) получается. Ну, получается, что все остальные точки не точки устранимого разрыва.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий