Линии и поверхности уровня | ФНП 1.2

ruticker 04.03.2025 23:47:53

Текст распознан YouScriptor с канала Плюс ЦЭ

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Линии и поверхности уровня | ФНП 1.2

+ Т по а линии поверхности уровня. Пусть у нас есть \( x \) и \( y \) в некоторой области \( D \), и пусть ее график выглядит следующим образом. Тогда область определения данных будет область \( D \) на плоскости \( x, y \), и уровня \( c \) функции \( z_3 \) от \( x, y \) называется линия, заданная уравнением \( f(x, y) = c \), где \( c \) — это некоторое число. Иными словами, это линия, получающаяся в результате пересечения поверхности, заданной уравнением функции нескольких переменных, и плоскости \( z = c \). Изобразим несколько линий уровня. Линии пересечения графика функции с плоскостью \( x, y \) будут линиями уровня. Линия уровня 0 будет линией, получающейся в результате пересечения графика функции с плоскостью \( z = 0 \), линия уровня 1 будет линией, получающейся в результате пересечения графика функции с плоскостью \( z = 1 \), и так далее. Дело в том, что, имея аналитическое задание функции, зачастую сложно сразу представить, как выглядит график функции. Если под рукой нет программ, которые могут построить график за вас, тогда решая данную систему уравнений и получая уравнения для линий уровня, можно нарисовать их на плоскости, а затем поднять на нужную высоту и таким образом получить скелет будущей поверхности. А затем натянуть на этот скелет эту поверхность и получить график самой функции. Какова будет ситуация, если функция имеет больше чем 2 переменные? Например, для функции трех переменных мы получим такую систему уравнений. Пусть у нас заданная функция \( u \) как функция трех переменных \( x, y, z \). Тогда, решая данную систему уравнений, мы получаем уравнение поверхности, заданное в неявном виде. Такая поверхность называется поверхностью уровня \( c \). Если переменных больше чем три, решения данной системы уравнений будут называться гиперповерхностью уровня \( c \). ### Пример Построим линии уровня 1, 2, 3, 4 функции \( z \) и затем изобразим график. Давайте посмотрим, какие уравнения получаются для линий уровня. Возьмем сначала произвольную линию уровня \( c \). Мы получили уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \( \frac{1}{\sqrt{c}} \). Соответственно, линия уровня 1 будет иметь следующее уравнение. Линия представляет собой окружности различного радиуса. Изобразим их: мы получили концентрические окружности различного радиуса. Теперь попробуем изобразить график этой функции в пространстве. Линии уровня в пространстве забрать. Вот так мы получили скелет, на который можем натянуть саму поверхность и получить примерный график функции. Другой пример: найти уравнение поверхностей уровня функции \( u \) и изобразить несколько из них. Давайте найдем уравнения поверхности уровня \( c \) и приведем их к каноническому виду. Мы получили уравнение эллиптического параболоида. Давайте рассмотрим поверхность уровня 1 и поверхность уровня 2. Изобразим их. То есть поверхностями уровня данной функции является семейство парабол, имеющих различную ширину. При этом, чем больше уровень, тем шире параболоид. Смотрим несколько приложений для линий уровня. Здесь представлен вертикальный срез некоторой местности с указанием максимальных высот. Если разрезать данный ландшафт параллельными плоскостями с шагом в 10 метров, мы получим линии уровня на данной местности. Эти линии можно изобразить на плоскости и получить карту высот. Таким образом, если рассматривать функцию двух переменных, дающую высоту над уровнем моря в каждой точке местности, иными словами, скалярное поле высот, то географическая карта высот будет строиться на основе линий уровня этой функции. Теперь давайте рассмотрим условную карту среднегодовых температур на территории России. Изотермы, то есть линии равной температуры, представляют собой линии уровня скалярного поля среднегодовых температур. Изобары, то есть линии равного атмосферного давления, являются линиями уровня скалярного поля среднего атмосферного давления, заданного на территории России. Из-за диеты, то есть линии равного количества осадков, являются линиями уровня скалярного поля годового количества осадков. Теперь представим атмосферу, которая нас окружает. Как известно, на разной высоте она имеет разный электрический потенциал. В ней можно мысленно выделить игры и потенциальные поверхности, то есть поверхности одинакового электрического потенциала. Вертикальные срезы этих поверхностей изображены как раз на этом рисунке. Ставь лайк!

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий