Математический анализ, 29 урок, Функции нескольких переменных. Частные производные

ruticker 04.03.2025 23:47:52

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 29 урок, Функции нескольких переменных. Частные производные

Здравствуйте! В этом уроке мы с вами изучим функции нескольких переменных, а также частные производные. Давайте рассмотрим в плоскости \(x\) и \(y\) некоторую область \(D\), которой обозначим \(D_{xy}\). Если каждой точке из этой области, то есть с двумя координатами, задается соответствующее число \(z\), то тогда говорят, что задана функция двух переменных \(z\), и обозначается как \(z = f(x, y)\). В данном случае \(x\) и \(y\) будут называться независимыми переменными или аргументами. Область \(D\) будет называться областью определения или областью существования нашей функции. Если мы захотим изобразить график этой функции, то нам понадобятся три оси: ось \(x\), \(y\) и \(z\). График такой функции будет являться некоторой поверхностью. Пусть у нас вот это, скажем, область \(D\) в плоскости \(x\) и \(y\). Если каждой точке из этой области ставим в соответствие некоторое значение \(z\), то у нас получается некоторая поверхность. Это будет графиком функции. Область \(D\), как я сказал, область определения. Например, рассмотрим функцию \(z = \frac{1}{x + y + \sqrt{x - y}}\). Это у нас функция двух переменных. Кстати, аналогичным образом вводятся функции многих переменных. Давайте попробуем найти ее область определения. Смотрим на правую часть: подкоренные выражения должны быть неотрицательными, а в этом случае даже положительными. То есть у нас \(x + y\) должно быть строго больше 0, и \(x - y\) должно быть больше 0. Это и будет задавать область \(D\) — область определения. Теперь давайте изобразим в плоскости \(x\) и \(y\). Чтобы изобразить, мы заменяем равенство, то есть \(x + y = 0\), и чертим эту прямую. Это у нас будет прямая. Если мы выразим \(y\), это будет \(y = -x\). Причем у нас неравенство строгое, поэтому эту прямую я начерчу штриховой линией. Это одна граница. \(x - y = 0\) или \(x = y\) — это у нас такая прямая. Наша плоскость \(x\) и \(y\) разбилась на четыре части этими двумя прямыми, и нам нужно выделить одну из них, которая удовлетворяет этим двум неравенствам. Для этого мы можем взять просто какие-либо точки из соответствующих областей. Например, в этой области верхнем треугольнике я возьму точку с координатами, скажем, (0, 1). \(0 + 1 > 0\) удовлетворяет, \(0 - 1 < 0\) не удовлетворяет, значит, эта часть мне не подходит. Аналогично убеждаемся, что и эта, и эта часть не подходят, а подходит только вот эта нижняя часть. Таким образом, вот эта красная область и будет являться областью определения, то есть нашей области \(D\), заданной функции. Теперь рассмотрим частные производные. Пусть у нас есть функция \(z = f(x, y)\). Так как у нас уже две переменные, соответственно, говоря о производных, нам нужно уточнить, по какой переменной идет речь. Для этого сделаем следующее: как и в случае с обычной функцией, чтобы вычислить производную, мы находим приращение функции. В нашем случае с двумя переменными вводится понятие частного приращения. Частное приращение по переменной \(x\) обозначается как \(\Delta x z\), то есть это приращение по \(x\). Значит, мы к \(x\) добавляем \(\Delta x\), и \(y\) оставляем на месте, и отнимаем \(f(x, y)\). Это у нас частное приращение. Как и в случае с обычной функцией, мы это приращение делим на приращение аргумента. В нашем случае это \(\Delta x\) и переходим к пределу, когда \(\Delta x\) стремится к нулю. Если этот предел существует, то он называется частной производной функции \(z\) по переменной \(x\) и обозначается следующим образом: \(\frac{\partial z}{\partial x}\) или, что то же самое, \(z'_x\). Иногда обозначают просто как \(z\) с индексом \(x\). Говоря о производной, это то же самое, только используя букву \(f\). Аналогично вводится частная производная по переменной \(y\). Это означает, что, чтобы вычислить частную производную по переменной \(x\), мы должны считать по правилу обычных производных, просто считая переменную \(x\) и некоторые константы. Например, пусть у нас есть функция \(z = x^2 + 3y^2 - 2x^3y\). Попробуем найти частные производные. Частная производная функции \(z\) по \(x\) — это мы считаем по \(x\), но \(y\) будем считать просто константой. От \(x^2\) производная — это \(2x\). Если \(y\) — это просто константа, то производная от \(3y^2\) будет 0, и не будет здесь у нас \(2y\). Это как константа. Производная от \(-2x^3y\) будет \(-6x^2y\). Теперь найдем частную производную по \(y\). Теперь мы считаем \(y\) переменной, а \(x\) константой. Тогда производная от \(x^2\) будет 0, производная от \(3y^2\) — \(6y\), а от \(-2x^3y\) будет \(-2x^3\). Обратите внимание, производные получились совсем разные. Закрепим пройденное на примерах. Попробуем найти частные производные этих двух функций. Начнем с первой. Найдем частную производную по \(x\) от \(z = \arcsin\left(\frac{y}{x}\right)\). Сначала придется посчитать производную от \(\arcsin\). Производная \(\arcsin\) напомнит \(\frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{y}{x}\right)^2}}\), но в нашем случае это будет \(-\frac{y}{x^2}\). Теперь умножаем, так как это у нас функция от функции, то есть по сути сложная функция, умножаем на производную внутренней части. Здесь у нас производная по \(x\) от \(\frac{y}{x}\) считается как константа, значит, по сути мы считаем производную вида \(\frac{1}{x}\). Производная от \(\frac{1}{x}\) — это \(-\frac{1}{x^2}\), но у нас еще есть коэффициент \(y\), значит, мы получаем \(-\frac{y}{x^2}\). Теперь посчитаем частную производную по \(y\). Снова первым делом нам придется посчитать производную от \(\arcsin\). Значит, первая часть ничем не будет отличаться. Теперь умножаем на производную внутренней части. Производная от \(y\) — это 1, значит, в итоге мы получили вот такую функцию. Рассмотрим пример. Здесь найдем частные производные \(z = x^3y^2\). Сначала считаем производную по \(x\). Это будет \(3x^2y^2\). Теперь найдем производную по \(y\). Это будет \(2x^3y\). Таким образом, чтобы посчитать частную производную по \(x\), мы должны считать по обычному правилу, считая \(x\) переменной, а \(y\) константой, и соответственно, если мы считаем производную частную по \(y\), мы \(y\) считаем переменной, а \(x\) константой, и действия по обычным правилам. А на этом данное видеоурок окончен.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий