Математический анализ, 30 урок, Полный дифференциал

ruticker 04.03.2025 23:47:52

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 30 урок, Полный дифференциал

Здравствуйте! В этом уроке мы изучим полный дифференциал функции нескольких переменных. Как и в случае с одной переменной, полный дифференциал вычисляется как главная часть приращения функции. Единственное, что насчет функции двух переменных, соответственно, приращения будет по двум переменным. То есть: \[ \Delta z = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y) \] Как и в случае с обычной функцией, из этой разности выделяется главная часть, то есть линейно зависящее от \(\Delta x\) и \(\Delta y\). Она будет представлена в виде: \[ \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \text{некоторая величина, которая нелинейно зависит от } \Delta x \text{ и } \Delta y \] Но при этом по сравнению с ними будет достаточно малой. Так вот, эта главная часть приращения функции и будет называться полным дифференциалом, обозначается следующим образом: \[ dz = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \] Если у нас будет функция большего числа переменных, просто будут добавляться соответствующие дифференциалы. Эти слагаемые будут называться частными дифференциалами. Рассмотрим пример. Попробуем вычислить полный дифференциал функции двух переменных. Для того чтобы вычислить полный дифференциал, нам нужны все частные производные по всем переменным. Считаем: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 + 2xy \] Частная производная по \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y + x^2 \] Теперь, оставшись, вычислим полный дифференциал: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] Рассмотрим ещё один пример. Попробуем вычислить полный дифференциал функции, которая уже является функцией трёх переменных. Соответственно, нам нужно вычислить три частные производные по всем переменным. Считаем частную производную по \(x\): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(x) y^2 z^3 \cos(x) y^2 \] Теперь находим производную по \(y\): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y z^3 + 2x y^2 z^3 \] И частную производную по \(z\): \[ \frac{\partial z}{\partial z} = 3z^2 \] Итак, мы нашли все частные производные. Осталось найти полный дифференциал. Очевидно, что полный дифференциал функции \(u\) по аналогии будет равняться: \[ du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz \] Теперь подставим частные производные: \[ du = 2 \sin(x) y^2 z^3 \cos(x) (dx + 2xy z^3 dy + 3xy^2 z^2 dz) \] Это будет полный дифференциал нашей функции \(u\). То есть, для того чтобы вычислить полный дифференциал, первым делом считаем все частные производные, а потом подставляем в это выражение. На этом данное видео закончено.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий