Математический анализ, 31 урок, Дифференцирование сложных и неявных функций

ruticker 04.03.2025 23:47:52

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 31 урок, Дифференцирование сложных и неявных функций

Здравствуйте! В этом уроке мы с вами изучим дифференцирование сложных и неявных функций нескольких переменных. Давайте рассмотрим функцию \( z \), которую мы запишем как \( z(u, v) \), где \( u \) и \( v \) — это функции двух переменных \( x \) и \( y \). То есть \( u \) — это некоторая функция \( f(x, y) \), а \( v \) представляет собой функцию от \( x \) и \( y \). Такую функцию \( z \) называют сложной функцией двух переменных \( x \) и \( y \). Аналогично можно ввести понятие сложной функции \( n \) переменных. Теперь, как найти производную сложной функции? Как и в случае с обычной функцией, чтобы найти производную сложной функции, мы сначала находим производную внешней функции и умножаем на производную внутренней. Единственное, что у нас переменных 2, соответственно, у нас уже будет не обычная производная, а частная. Итак, частная производная функции \( z \) по \( x \) будет вычисляться следующим образом: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \] Аналогично, мы можем вычислить частную производную функции \( z \) по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \] Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция \[ z = \ln(u^3 + v^2) \] где \( u \) — это функция двух переменных \( x \) и \( y \), а \( v \) — функция вида \( x \cdot y \). Давайте найдем частные производные \( \frac{\partial z}{\partial x} \) и \( \frac{\partial z}{\partial y} \). 1. Сначала находим \( \frac{\partial z}{\partial u} \): \[ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{u^3 + v^2} \cdot 3u^2 \] 2. Теперь находим \( \frac{\partial u}{\partial x} \) и \( \frac{\partial v}{\partial x} \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = y \] 3. Подставляем в формулу: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{3u^2}{u^3 + v^2} \cdot y + \frac{1}{u^3 + v^2} \cdot 2v \cdot y \] Аналогично, для \( \frac{\partial z}{\partial y} \): 1. Сначала находим \( \frac{\partial z}{\partial u} \): \[ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{1}{u^3 + v^2} \cdot 3u^2 \] 2. Теперь находим \( \frac{\partial u}{\partial y} \) и \( \frac{\partial v}{\partial y} \): \[ \frac{\partial u}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x \] 3. Подставляем в формулу: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{3u^2}{u^3 + v^2} \cdot x + \frac{1}{u^3 + v^2} \cdot 2v \cdot x \] Теперь рассмотрим функцию \( z \) как \( z(u, v) \), но на этот раз пусть \( u \) и \( v \) уже под функциями одной переменной. То есть \( u \) — это некоторая функция от \( x \), а \( v \) — это тоже функция от \( x \). Таким образом, \( z \) будет функцией от одной переменной \( x \). Как найти производную функции \( z \) в таком случае? Если \( z \) — это произвольная функция одной переменной, значит, уже не будет речи о частных производных, а речь идет о обычной производной функции \( z \): \[ \frac{dz}{dx} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx} \] Например, пусть у нас есть \( z = u^2 \cdot v \), где \( u = 5^x \) и \( v = \sin(x) \). Найдем производную функции \( z \): 1. Сначала находим \( \frac{\partial z}{\partial u} \): \[ \frac{\partial z}{\partial u} = 2u \cdot v \] 2. Теперь находим производные \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \): \[ \frac{du}{dx} = 5^x \ln(5), \quad \frac{dv}{dx} = \cos(x) \] 3. Подставляем в формулу: \[ \frac{dz}{dx} = 2u \cdot v \cdot \frac{du}{dx} + u^2 \cdot \frac{dv}{dx} \] Теперь рассмотрим функцию, заданную неявно. Пусть у нас есть некоторые функции \( y \) от одной переменной, заданные в виде соотношения \( f(x, y) = 0 \). Чтобы найти производную функции \( y \), мы можем использовать частные производные: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{f_x}{f_y} \] Например, пусть у нас есть функция \( x^3 + y^2 - xy + e^y = 0 \). Попробуем вычислить производную \( y \): 1. Считаем производную \( f \) по \( x \): \[ f_x = 3x^2 - y \] 2. Считаем производную \( f \) по \( y \): \[ f_y = 2y - x + e^y \] 3. Подставляем в формулу: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 - y}{2y - x + e^y} \] Теперь рассмотрим функцию двух переменных \( z(x, y) \), заданную неявно. Пусть у нас есть соотношение \( f(x, y, z) = 0 \). Как найти производные функции \( z \)? Частная производная функции \( z \) по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{f_x}{f_z} \] Аналогично, частная производная \( z \) по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{f_y}{f_z} \] Например, пусть у нас есть \( x^3 - y^2 + z - xy + 7 = 0 \). Найдем частные производные функции \( z \): 1. Считаем производную \( f \) по \( x \): \[ f_x = 3x^2 - y \] 2. Считаем производную \( f \) по \( y \): \[ f_y = -2y - x \] 3. Считаем производную \( f \) по \( z \): \[ f_z = 1 \] Теперь подставляем в формулы: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{3x^2 - y}{1}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{-2y - x}{1} \] Таким образом, мы смогли вычислить частные производные функции \( z \), заданной неявно. На этом данное видео заканчивается.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий