Математический анализ, 32 урок, Частные производные и дифференциалы высших порядков

ruticker 04.03.2025 23:47:52

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 32 урок, Частные производные и дифференциалы высших порядков

Здравствуйте! В этом уроке мы с вами изучим частные производные и дифференциалы высших порядков. Особенно уделим внимание частным производным второго порядка. Давайте рассмотрим некоторые функции \( z \) от двух переменных \( x \) и \( y \). Как и в случае с обычными производными, производные второго порядка сводятся к производным от производной. Частная производная функции \( z \) по \( x \) второго порядка обозначается следующим образом: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \] Она вычисляется как производная от производной. То есть, первым делом мы считаем частную производную функции \( z \) по \( x \), а затем от полученного результата снова считаем производную по \( x \). Это обозначается следующим образом: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \] Аналогично вводится частная производная второго порядка по \( y \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \] Если мы считаем функцию двух переменных, то здесь у нас появляется понятие смешанных производных. Смешанная производная обозначается следующим образом: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \] Это означает, что первый раз мы взяли производную по \( x \), а затем дважды по \( y \). Это можно обозначить следующим образом: \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) \] Аналогично у нас есть понятие производной сначала по \( y \), потом по \( x \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \] Эти производные называются смешанными производными, а все производные второго порядка по \( x \), по \( y \) и две смешанные называются производными второго порядка функции \( z \). Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция: \[ z = x^2 y + y^3 - 5 \] Найдём все частные производные второго порядка функции \( z \). Сначала находим частные производные первого порядка: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + 3y^2 \] Теперь найдем производные второго порядка. Сначала по \( x \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (2xy) = 2y \] Теперь найдем производную по \( y \): \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + 3y^2) = 6y \] Теперь найдем смешанные производные: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy) = 2x \] И: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + 3y^2) = 2x \] Обратите внимание, что эти две производные оказались равны. Вообще говорят, что смешанные производные равны в тех точках, в которых обе непрерывны. Теперь рассмотрим дифференциал. Мы знаем, что полный дифференциал функции \( z \) первого порядка находится как: \[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \] Аналогично можно вычислить дифференциал второго порядка. Он обозначается следующим образом: \[ d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} dx^2 + 2 \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} dx dy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} dy^2 \] Рассмотрим пример. Пусть у нас есть функция: \[ z = \log(2x + y) \] Попробуем вычислить полный дифференциал второго порядка функции \( z \). Для этого нам нужны все частные производные второго порядка. Сначала находим производные первого порядка: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2}{2x + y} \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2x + y} \] Теперь находим производные второго порядка: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{4}{(2x + y)^2} \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -\frac{2}{(2x + y)^2} \] Теперь находим смешанную производную: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{2}{(2x + y)^2} \] Теперь можем выписать дифференциал второго порядка: \[ d^2z = -\frac{4}{(2x + y)^2} dx^2 - 4 \cdot \frac{2}{(2x + y)^2} dx dy - \frac{2}{(2x + y)^2} dy^2 \] Таким образом, мы нашли полный дифференциал второго порядка функции \( z \). На этом данный видеоурок окончен.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий