Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхности

ruticker 04.03.2025 23:47:53

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 33 урок, Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Здравствуйте! В этом уроке мы с вами научимся находить касательную плоскость и нормаль поверхности с помощью частных производных. Давайте рассмотрим некоторую поверхность в пространстве \(x, y, z\), которая задана с отношением \(f(x, y, z) = 0\). Изобразим наши координаты \(x, y, z\) как \(O\). Пусть эта поверхность выглядит примерно следующим образом. Как и в случае с обычной производной, когда мы с помощью производных могли находить касательную прямую к графику функции, в случае с функцией двух переменных мы можем находить касательную плоскость к поверхности. Например, пусть у нас есть на этой поверхности некоторая точка \(M_0\). С помощью частных производных мы можем составить уравнение касательной плоскости — это такая плоскость, которая касается нашей поверхности в точке \(M_0\). Также мы сможем составить нормаль — это прямая, которая будет перпендикулярна нашей касательной плоскости, то есть некоторая прямая, которая проходит через точку \(M_0\) и перпендикулярна к этой плоскости. Уравнение касательной плоскости выглядит следующим образом: пусть у нас задана поверхность \(f(x, y, z) = 0\) и точка \(M_0\) с координатами \((x_0, y_0, z_0)\). Точка \(M_0\) должна принадлежать этой поверхности, что означает, что \(f(x_0, y_0, z_0) = 0\). В таком случае уравнение касательной плоскости задается следующим образом: \[ f_x(x_0, y_0, z_0) \cdot (x - x_0) + f_y(x_0, y_0, z_0) \cdot (y - y_0) + f_z(x_0, y_0, z_0) \cdot (z - z_0) = 0 \] Если мы вычислим все частные производные и подставим значения, мы получим уравнение касательной плоскости. Уравнение нормали находится следующим образом: \[ \frac{x - x_0}{f_x(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y - y_0}{f_y(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z - z_0}{f_z(x_0, y_0, z_0)} \] Таким образом, пользуясь этими соотношениями, мы сможем составить уравнение касательной плоскости и нормали, проведенных к данной поверхности в точке \(M_0\). Давайте рассмотрим пример. Пусть нам задана поверхность с таким соотношением, и нужно провести касательную плоскость и нормаль в точке \(M_0\) с координатами \((0, 2, -2)\). Для этого нам нужно найти частные производные этого выражения по \(x\), \(y\) и \(z\) в точке \(M_0\). Для удобства обозначим следующим образом \(f(x, y, z)\). Считаем производную по \(x\): \[ f_x = y z^2 \] В точке \(M_0\) подставляем значения: \(x = 0\), \(y = 2\), \(z = -2\): \[ f_x(0, 2, -2) = 2 \cdot (-2)^2 = 8 \] Аналогично находим производную по \(y\): \[ f_y = x z^2 + 2y \] В точке \(M_0\): \[ f_y(0, 2, -2) = 0 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot 2 = 4 \] Теперь находим производную по \(z\): \[ f_z = 2xy \] В точке \(M_0\): \[ f_z(0, 2, -2) = 2 \cdot 0 \cdot 2 = 0 \] Теперь у нас есть все частные производные в точке \(M_0\). Осталось записать уравнение касательной. Напомню, уравнение касательной плоскости записывается как: \[ 8(x - 0) + 4(y - 2) + 0(z + 2) = 0 \] Упрощаем: \[ 8x + 4y - 8 = 0 \] Сокращаем на 4: \[ 2x + y - 2 = 0 \] Это у нас будет касательная плоскость. Теперь составим уравнение нормали. Уравнение нормали находится как: \[ \frac{x - 0}{8} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z + 2}{0} \] Упрощаем: \[ \frac{x}{8} = \frac{y - 2}{4} \] Таким образом, мы составили уравнение касательной плоскости и уравнение нормали. Если у нас поверхность задана некоторым уравнением \(f(x, y) = 0\) и точка \(M_0\), для которой нужно провести касательную плоскость и нормаль, то уравнение плоскости вычисляется по такой формуле, а уравнение нормали — по такому выражению. Что делать, если наша поверхность задана в таком виде, как \(z = f(x, y)\)? Мы можем привести это выражение к такому виду, просто перенести \(z\) и получить уравнение \(f(x, y, z) = 0\). Теперь попробуем вычислить уравнение нормали и плоскости в таком виде. Здесь у нас \(f_x\) будет производной функции \(f\) по \(x\), а \(f_z\) будет равняться \(-1\), так как эта часть не зависит от \(z\). Таким образом, подставляя значения, мы получим уравнение касательной плоскости и уравнение нормали для поверхности, заданной в виде \(z = f(x, y)\). На этом данный видеоурок окончен.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий