Математический анализ, 34 урок, Экстремум функции двух переменных

ruticker 04.03.2025 23:47:53

Текст распознан YouScriptor с канала Видеокурсы DA VINCI

распознано с видео на ютубе сервисом YouScriptor.com, читайте дальше по ссылке Математический анализ, 34 урок, Экстремум функции двух переменных

Здравствуйте! В этом уроке мы с вами изучим экстремум функции двух переменных. Как и в случае с функцией одной переменной, с помощью производных, в данном случае — с помощью частных производных, мы сможем находить экстремумы функции двух переменных. Давайте рассмотрим функцию \( z \) от двух переменных \( x \) и \( y \). Точка \( M \) с координатами \( (x_0, y_0) \) называется точкой локального максимума или минимума, если в некоторой окрестности этой точки выполняется соотношение, что значение в этой точке, то есть \( f(x_0, y_0) \), больше или равно значению во всех соседних точках. Соответственно, если мы говорим о минимуме, этот знак "больше или равно" заменяется на "меньше или равно". Это у нас определение локального максимума или минимума. Как и в случае с обычной производной, у нас есть необходимое условие экстремума функции, а именно: если \( M \) с координатами \( (x_0, y_0) \) является экстремумом, то выполняется следующее: значение частных производных функции \( f \) в точке \( M \) равно нулю, то есть \[ f'_x(x_0, y_0) = 0 \] и \[ f'_y(x_0, y_0) = 0. \] Итак, если \( M \) с координатами \( (x_0, y_0) \) — это экстремум, то значение частных производных в этих точках равно нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не будет существовать. Однако с помощью этого необходимого признака мы не сможем находить точки экстремума. Для этого нам нужен достаточный признак. Итак, нам нужен достаточный признак. Давайте рассмотрим функцию \( z \) от двух переменных \( x \) и \( y \). Пусть эта функция является непрерывной и дифференцируемой до третьего порядка. Для того чтобы ввести достаточный признак, давайте введем обозначения. Обозначим число \( a \) как значение второй частной производной функции \( z \) в точке \( M_0 \) с координатами \( (x_0, y_0) \), то есть \[ a = z_{xx}(x_0, y_0). \] Также обозначим через \( b \) значение смешанной производной в точке \( (x_0, y_0) \) и через \( c \) обозначим значение второй производной по \( y \). Также введем обозначение \( \Delta \), где \[ \Delta = a \cdot c - b^2. \] Теперь, когда мы ввели обозначения, рассмотрим достаточный признак. **Теорема:** Достаточный признак экстремума имеет несколько случаев: 1. Если \( \Delta > 0 \), то \( M_0 \) является точкой экстремума. А именно, если \( a > 0 \), то у нас будет минимум; если \( a < 0 \), то у нас будет максимум. 2. Если \( \Delta = 0 \), то у нас нет экстремума в этой точке. 3. Если \( \Delta < 0 \), то требуется дополнительное исследование. Теперь рассмотрим пример. Исследуем на экстремумы заданную функцию двух переменных. Для этого первым делом мы находим частные производные по \( x \) и по \( y \): \[ f'_x = 6 - 2x - y = 0, \] \[ f'_y = -x - 2y = 0. \] Из этого условия мы находим \( x \) и \( y \). По сути, мы получаем систему: \[ -2x - y = 6, \] \[ x + 2y = 0. \] Осталось решить эту систему. Она довольно проста, и можно решить любым способом. Если мы решим, мы найдем, что \( x = 4 \), \( y = -2 \). Итого, мы получили точку \( M_0 \) с координатами \( (4, -2) \), которая является подозрительной на экстремум, то есть в ней может достигаться либо максимум, либо минимум. Чтобы исследовать максимум или минимум, нам нужно найти значения \( a \), \( b \) и \( c \), которые мы исследовали в достаточном признаке. Напомню, \( a \) — это значение второй производной по \( x \) в этой самой точке \( M_0 \). Находим вторую производную по \( x \): \[ f''_{xx} = -2. \] Теперь находим число \( b \) (смешанная производная в точке \( M_0 \)): \[ f''_{xy} = -1. \] Находим число \( c \) (вторая производная по \( y \) в точке \( M_0 \)): \[ f''_{yy} = -2. \] Теперь подставляем значения в формулу для \( \Delta \): \[ \Delta = a \cdot c - b^2 = (-2) \cdot (-2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3. \] Таким образом, \( \Delta = 3 \), что больше 0. По достаточному признаку, если \( \Delta > 0 \), то в точке \( M \) будет экстремум. Какой именно — максимум или минимум — мы смотрим на число \( a \). Число \( a \) у нас отрицательное (\( a < 0 \)), отсюда следует, что \( M_0 \) с координатами \( (4, -2) \) — это точка максимума. Мы можем вычислить соответствующее значение \( z \) (максимум). Для этого подставляем точку \( (4, -2) \) в функцию: \[ z(4, -2) = 1 + 24 - 16 - 99 + 8 = 17 - 4 = 13. \] Таким образом, чтобы исследовать функцию двух переменных на экстремум, нужно сделать следующее: 1. Найти частные производные первого порядка, приравнять их к нулю и найти соответствующие точки, которые подозрительные на экстремум. 2. Вычислить вторые частные производные в этой точке, найти коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) и вычислить \( \Delta \). 3. Если \( \Delta > 0 \), то в этой точке будет экстремум. Этот экстремум зависит от числа \( a \): если \( a < 0 \), то максимум; если \( a > 0 \), то минимум. Если \( \Delta < 0 \), то экстремума не будет. Если \( \Delta = 0 \), то требуется дополнительное исследование. На этом данное видео окончено.

Назад

Залогинтесь, что бы оставить свой комментарий